В тре­уголь­ни­ке АВС про­ве­де­на бис­сек­три­са АМ. Пря­мая, про­хо­дя­щая через вер­ши­ну В пер­пен­ди­ку­ляр­но АМ, пе­ре­се­ка­ет сто­ро­ну АС в точке N. АВ  =  6; ВС  =  5; АС  =  9.

а)  До­ка­жи­те, что бис­сек­три­са угла С делит от­ре­зок МN по­по­лам.

б)  Пусть Р  — точка пе­ре­се­че­ния бис­сек­трис тре­уголь­ни­ка АВС. Най­ди­те от­но­ше­ние АР : РN.

На сто­ро­нах AC и BC тре­уголь­ни­ка ABC вне тре­уголь­ни­ка по­стро­е­ны квад­ра­ты ACDE и BFKC. Точка M  — се­ре­ди­на сто­ро­ны AB.

а)  До­ка­жи­те, что

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние от точки M до цен­тров квад­ра­тов, если AC  =  10, BC  =  32 и ∠ACB  =  30°.

На ги­по­те­ну­зу AB пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка ABC опу­сти­ли вы­со­ту CH. Из точки H на ка­те­ты опу­сти­ли пер­пен­ди­ку­ля­ры HK и HE.

а)  До­ка­жи­те, что точки A, B, K и E лежат на одной окруж­но­сти.

б)  Най­ди­те ра­ди­ус этой окруж­но­сти, если AB  =  12, CH  =  5.

В рав­но­бед­рен­ном тре­уголь­ни­ке ABC с углом 120° при вер­ши­не A про­ве­де­на бис­сек­три­са BD. В тре­уголь­ник ABC впи­сан пря­мо­уголь­ник DEFH так, что сто­ро­на FH лежит на от­рез­ке BC, а вер­ши­на E  —  на от­рез­ке AB.

а)  До­ка­жи­те, что FH  =  2DH.

б)  Най­ди­те пло­щадь пря­мо­уголь­ни­ка DEFH, если AB  =  4.

Вы­со­ты BB₁ и CC₁ ост­ро­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка ABC пе­ре­се­ка­ют­ся в точке H.

а)  До­ка­жи­те, что ∠AHB₁ = ∠ACB.

б)  Най­ди­те BC, если AH  =  4 и ∠BAC  =  60°.

В ост­ро­уголь­ном тре­уголь­ни­ке ABC про­ве­ли вы­со­ту BH, из точки H на сто­ро­ны AB и BC опу­сти­ли пер­пен­ди­ку­ля­ры HK и HM со­от­вет­ствен­но.

а)  До­ка­жи­те, что тре­уголь­ник MBK по­до­бен тре­уголь­ни­ку ABC.

б)  Най­ди­те от­но­ше­ние пло­ща­ди тре­уголь­ни­ка MBK к пло­ща­ди четырёхуголь­ни­ка AKMC, если BH  =  2, а ра­ди­ус окруж­но­сти, опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка ABC равен 4.

Ме­ди­а­ны AA₁, BB₁ и CC₁ тре­уголь­ни­ка ABC пе­ре­се­ка­ют­ся в точке M. Из­вест­но, что AC  =  3MB.

а)  До­ка­жи­те, что тре­уголь­ник ABC пря­мо­уголь­ный.

б)  Най­ди­те сумму квад­ра­тов ме­ди­ан AA₁ и CC₁, если из­вест­но, что AC  =  10.

Ме­ди­а­ны AA₁, BB₁ и CC₁ тре­уголь­ни­ка ABC пе­ре­се­ка­ют­ся в точке M. Точки A₂, B₂ и C₂  — се­ре­ди­ны от­рез­ков MA, MB и MC со­от­вет­ствен­но.

а)  До­ка­жи­те, что пло­щадь ше­сти­уголь­ни­ка A₁B₂C₁A₂B₁C₂ вдвое мень­ше пло­ща­ди тре­уголь­ни­ка ABC.

б)  Най­ди­те сумму квад­ра­тов всех сто­рон этого ше­сти­уголь­ни­ка, если из­вест­но, что AB  =  4, BC  =  7 и AC  =  8.

Все че­ты­ре тре­уголь­ни­ка, за­штри­хо­ван­ные на ри­сун­ке, рав­но­ве­ли­ки.

а)  До­ка­жи­те, что все три че­ты­рех­уголь­ни­ка, не за­штри­хо­ван­ные на нем, тоже рав­но­ве­ли­ки.

б)  Най­ди­те пло­щадь од­но­го че­ты­рех­уголь­ни­ка, если пло­щадь од­но­го за­штри­хо­ван­но­го тре­уголь­ни­ка равна 1.

Пря­мая, па­рал­лель­ная ги­по­те­ну­зе AB пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка ABC, пе­ре­се­ка­ет катет  АС в точке  D, катет  BC  — в точке E, при­чем DE  =  2 и BE  =  1. На ги­по­те­ну­зе взята точка F так, что BF  =  1, ве­ли­чи­на угла FCB равна 30°.

а)  До­ка­жи­те, что тре­уголь­ник BFE рав­но­сто­рон­ний.

б)  Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка ABC.

В ост­ро­уголь­ном тре­уголь­ни­ке АВС про­ве­де­ны вы­со­ты АК и СМ. На них из точек М и К опу­ще­ны пер­пен­ди­ку­ля­ры МЕ и КН со­от­вет­ствен­но.

а)  До­ка­жи­те, что пря­мые ЕН и АС па­рал­лель­ны.

б)  Най­ди­те от­но­ше­ние ЕН : АС, если угол АВС равен 30°.

В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке АВС с пря­мым углом С точки М и N  — се­ре­ди­ны ка­те­тов АС и ВС со­от­вет­ствен­но, СН  — вы­со­та.

а)  До­ка­жи­те, что пря­мые МН и NH пер­пен­ди­ку­ляр­ны.

б)  Пусть Р  — точка пе­ре­се­че­ния пря­мых АС и NH, а Q  — точка пе­ре­се­че­ния пря­мых BC и МН. Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка PQM, если АН  =  4 и ВН  =  2.

На про­дол­же­нии сто­ро­ны АС за вер­ши­ну А тре­уголь­ни­ка АВС от­ме­че­на точка D так, что AD  =  AB. Пря­мая, про­хо­дя­щая через точку А, па­рал­лель­но BD, пе­ре­се­ка­ет сто­ро­ну ВС в точке M.

а)  До­ка­жи­те, что AM  — бис­сек­три­са тре­уголь­ни­ка АВС.

б)  Найти S_AMBD, если AC  =  30, BC  =  18 и AB  =  24.

На от­рез­ке BD взята точка C. Бис­сек­три­са BL рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка ABC с ос­но­ва­ни­ем BC яв­ля­ет­ся бо­ко­вой сто­ро­ной рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка BLD с ос­но­ва­ни­ем BD.

а)  До­ка­жи­те, что тре­уголь­ник DCL рав­но­бед­рен­ный.

б)  Из­вест­но, что В каком от­но­ше­нии пря­мая DL делит сто­ро­ну AB?

В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке ABC точки M и N  — се­ре­ди­ны ги­по­те­ну­зы AB и ка­те­та BC со­от­вет­ствен­но. Бис­сек­три­са угла BAC пе­ре­се­ка­ет пря­мую MN в точке L.

а)  До­ка­жи­те, что тре­уголь­ни­ки AML и BLC по­доб­ны.

б)  Най­ди­те от­но­ше­ние пло­ща­дей этих тре­уголь­ни­ков, если

Точки B₁ и C₁ лежат на сто­ро­нах со­от­вет­ствен­но AC и AB тре­уголь­ни­ка ABC, причём AB₁ : B₁C  =  AC₁ : C₁B. Пря­мые BB₁ и CC₁ пе­ре­се­ка­ют­ся в точке O.

а)  До­ка­жи­те, что пря­мая AO делит по­по­лам сто­ро­ну BC.

б)  Най­ди­те от­но­ше­ние пло­ща­ди четырёхуголь­ни­ка AB₁OC₁ к пло­ща­ди тре­уголь­ни­ка ABC, если из­вест­но, что AB₁ : B₁C  =  AC₁ : C₁B  =  1 : 4.

На ка­те­тах AC и BC пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка ABC вне тре­уголь­ни­ка по­стро­е­ны квад­ра­ты ACDE и BFKC. Точка M  — се­ре­ди­на ги­по­те­ну­зы AB, H  — точка пе­ре­се­че­ния пря­мых CM и DK.

а)  До­ка­жи­те, что CMDK.

б)  Най­ди­те MH, если из­вест­но, что ка­те­ты тре­уголь­ни­ка ABC равны 130 и 312.

Пря­мая, про­хо­дя­щая через се­ре­ди­ну M ги­по­те­ну­зы AB пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка ABC, пер­пен­ди­ку­ляр­на CM и пе­ре­се­ка­ет катет AC в точке K. При этом AK : KC  =  1 : 2.

а)  До­ка­жи­те, что

б)  Пусть пря­мые MK и BC пре­се­ка­ют­ся в точке P, а пря­мые AP и BK  — в точке Q. Най­ди­те KQ, если BC  =  

В тре­уголь­ник ABC, в ко­то­ром длина сто­ро­ны AC мень­ше длины сто­ро­ны BC, впи­са­на окруж­ность с цен­тром O. Точка B₁ сим­мет­рич­на точке B от­но­си­тель­но CO.

а)  До­ка­жи­те, что A, B, O и B₁ лежат на одной окруж­но­сти.

б)  Най­ди­те пло­щадь четырёхуголь­ни­ка AOBB₁, если AB  =  10, AC  =  6 и BC  =  8.

В тре­уголь­ни­ке ABC угол ABC тупой, H  — точка пе­ре­се­че­ния про­дол­же­ний высот, угол AHC равен 60°.

а)  До­ка­жи­те, что угол ABC равен 120°.

б)  Най­ди­те BH, если и

Из вер­шин А и В ту­по­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка АВС про­ве­де­ны вы­со­ты BQ и AH. Из­вест­но, что угол В  — тупой, BC : CH  =  4 : 5, BH  =  BQ.

А)  До­ка­жи­те, что диа­метр опи­сан­ной во­круг тре­уголь­ни­ка ABQ окруж­но­сти в раз боль­ше BQ.

Б)  Най­ди­те пло­щадь че­ты­рех­уголь­ни­ка AHBQ, если пло­щадь тре­уголь­ни­ка HQC равна 25.

На сто­ро­нах AC и BC тре­уголь­ни­ка ABC вне его по­стро­е­ны квад­ра­ты ACDE и CBFG. Точка M  — се­ре­ди­на сто­ро­ны AB.

а)  До­ка­жи­те, что точка M рав­но­уда­ле­на от цен­тров квад­ра­тов.

б)  Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка DMG, если

В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке ABC точка M лежит на ка­те­те AC, а точка N лежит на про­дол­же­нии ка­те­та  BC за точку C, причём и От­рез­ки CP и CQ  — бис­сек­три­сы тре­уголь­ни­ков ACB и NCM со­от­вет­ствен­но.

а)  До­ка­жи­те, что CP и СQ пер­пен­ди­ку­ляр­ны.

б)  Най­ди­те PQ, если а

На ги­по­те­ну­зе AB и на ка­те­тах BC и AC пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка ABC от­ме­че­ны точки M, N и K со­от­вет­ствен­но, при­чем пря­мая KN па­рал­лель­на пря­мой AB и BM  =  BN  =   Точка P  — се­ре­ди­на от­рез­ка KN.

а)  До­ка­жи­те, что че­ты­рех­уголь­ник BCPM  — рав­но­бед­рен­ная тра­пе­ция.

б)  Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка ABC, если и

Дан пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник ABC. На ка­те­те AC от­ме­че­на точка M, а на про­дол­же­нии ка­те­та BC за точку C  — точка  N так, что CM  =  CB и CA  =  CN.

а)  Пусть CH и CF  — вы­со­ты тре­уголь­ни­ков ABC и NMC со­от­вет­ствен­но. До­ка­жи­те, что CF и CH пер­пен­ди­ку­ляр­ны.

б)  Пусть L  — это точка пе­ре­се­че­ния BM и AN, BC  =  2, AC  =  5. Най­ди­те ML.

На сто­ро­нах AB, BC и AC тре­уголь­ни­ка ABC от­ме­че­ны точки C₁, A₁ и B₁ со­от­вет­ствен­но, причём AC₁ : C₁B  =  8 : 3, BA₁ : A₁C  =  1 : 2, CB₁ : B₁A  =  3 : 1. От­рез­ки BB₁ и CC₁ пе­ре­се­ка­ют­ся в точке D.

а)  До­ка­жи­те, что ADA₁B₁  — па­рал­ле­ло­грамм.

б)  Най­ди­те CD, если от­рез­ки AD и BC пер­пен­ди­ку­ляр­ны, AC  =  28, BC  =  18.

В тре­уголь­ни­ке ABC про­ве­ли вы­со­ту CC₁ и ме­ди­а­ну AA₁. Ока­за­лось, что точки A, A₁, C, C₁ лежат на одной окруж­но­сти.

а)  До­ка­жи­те, что тре­уголь­ник ABC рав­но­бед­рен­ный.

б)  Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка ABC, если AA₁ : CC₁  =  3 : 2 и A₁C₁  =  2.

На сто­ро­нах АВ, ВС и АС тре­уголь­ни­ка АВС от­ме­че­ны точки C₁, A₁ и B₁ со­от­вет­ствен­но, причём АC₁ : С₁B  =  21 : 10, ВА₁ : A₁C  =  2 : 3, АВ₁ : В₁С  =  2 : 5. От­рез­ки BB₁ и CC₁ пе­ре­се­ка­ют­ся в точке D.

а)  До­ка­жи­те, что четырёхуголь­ник ADA₁B₁  — па­рал­ле­ло­грамм.

б)  Най­ди­те CD, если от­рез­ки AD и ВС пер­пен­ди­ку­ляр­ны, АС = 63, ВС  =  25.

В ост­ро­уголь­ном тре­уголь­ни­ке ABC про­ве­ли вы­со­ту CC₁ и ме­ди­а­ну AA₁. Ока­за­лось, что точки A, A₁, C, C₁ лежат на одной окруж­но­сти.

а)  До­ка­жи­те, что тре­уголь­ник ABC рав­но­бед­рен­ный.

б)  Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка ABC, если AA₁ : CC₁  =  5 : 4 и A₁C₁  =  4.

Бис­сек­три­са пря­мо­го угла пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка АВС вто­рич­но пе­ре­се­ка­ет окруж­ность, опи­сан­ную около этого тре­уголь­ни­ка, в точке L. Пря­мая, про­хо­дя­щая через точку L и се­ре­ди­ну N ги­по­те­ну­зы АВ, пе­ре­се­ка­ет катет ВС в точке М.

а)  До­ка­жи­те,

б)  Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка АВС, если AB  =  20 и

В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке АВС точка M лежит на ка­те­те АС, а точка N лежит на про­дол­же­нии ка­те­та ВС за точку С, при­чем СМ  =  ВС и CN = AC.

а)  От­рез­ки СH и CF  — вы­со­ты тре­уголь­ни­ков АСВ и NCM со­от­вет­ствен­но. До­ка­жи­те, что пря­мые СН и CF пер­пен­ди­ку­ляр­ны.

б)  Пря­мые ВМ и AN пе­ре­се­ка­ют­ся в точке L. Най­ди­те LM если ВС  =  4, а АС  =  8.

На сто­ро­не АВ тре­уголь­ни­ка АВС взята точка Е, а на сто­ро­не ВС  — точка D так, что АЕ  =  2, CD  =  1. Пря­мые AD и СЕ пе­ре­се­ка­ют­ся в точке О. Из­вест­но, что АВ  =  ВС  =  8, АС  =  6.

а)  До­ка­жи­те, что АО : АD  =  8 : 11.

б)  Най­ди­те пло­щадь че­ты­рех­уголь­ни­ка BDOE.

От­рез­ки AK, BL, CN  — вы­со­ты ост­ро­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка АВС. Точки Р и Q  — про­ек­ции точки N на сто­ро­ны АС и ВС со­от­вет­ствен­но.

а)  До­ка­жи­те, что пря­мые PQ и KL па­рал­лель­ны.

б)  Най­ди­те пло­щадь че­ты­рех­уголь­ни­ка PQKL, если из­вест­но, что CN  =  12, AC  =  13, BC  =  15.

В тре­уголь­ни­ке ABC на про­дол­же­нии сто­ро­ны AC за вер­ши­ну A от­ло­жен от­ре­зок AD, рав­ный сто­ро­не AB. Пря­мая, про­хо­дя­щая через точку A па­рал­лель­но BD, пе­ре­се­ка­ет сто­ро­ну BC в точке M.

а)  До­ка­жи­те, что AM  — бис­сек­три­са угла BAC.

б)  Най­ди­те пло­щадь тра­пе­ции AMBD, если пло­щадь тре­уголь­ни­ка ABC равна 216 и из­вест­но от­но­ше­ние AC : AB  =  5 : 4.

Точки E и F рас­по­ло­же­ны со­от­вет­ствен­но на сто­ро­не ВС и вы­со­те ВР ост­ро­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка АВС так, что AP  =  3, BE : EC  =  10 : 1, а тре­уголь­ник AEF яв­ля­ет­ся рав­но­сто­рон­ним.

а)  До­ка­жи­те, что ор­то­го­наль­ная про­ек­ция точки Е на АС делит от­ре­зок АС в от­но­ше­нии 1 : 16, счи­тая от вер­ши­ны С.

б)  Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка AEF.

В тре­уголь­ни­ке ABC бис­сек­три­сы AK и BL пе­ре­се­ка­ют­ся в точке I. Из­вест­но, что около четырёхуголь­ни­ка CKIL можно опи­сать окруж­ность.

а)  До­ка­жи­те, что угол BCA равен 60°.

б)  Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка ABC, если его пе­ри­метр равен 25 и IC  =  4.

На сто­ро­нах AC, AB и BC пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка ABC с пря­мым углом C вне тре­уголь­ни­ка ABC по­стро­е­ны рав­но­бед­рен­ные пря­мо­уголь­ные тре­уголь­ни­ки AKC, ALB и BMC с пря­мы­ми уг­ла­ми K, L и M со­от­вет­ствен­но.

а)  До­ка­жи­те, что LC  — вы­со­та тре­уголь­ни­ка KLM.

б)  Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка KLM, если LC  =  4.

На сто­ро­нах AC, AB и BC пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка ABC с пря­мым углом C вне тре­уголь­ни­ка ABC по­стро­е­ны рав­но­бед­рен­ные пря­мо­уголь­ные тре­уголь­ни­ки AKC, ALB и BMC с пря­мы­ми уг­ла­ми K, L и M со­от­вет­ствен­но.

а)  До­ка­жи­те, что LC  — вы­со­та тре­уголь­ни­ка KLM.

б)  Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка KLM, если LC  =  6.

На сто­ро­нах AC, AB и BC пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка ABC с пря­мым углом C во внеш­нюю сто­ро­ну по­стро­е­ны рав­но­бед­рен­ные пря­мо­уголь­ные тре­уголь­ни­ки AKC и ALB и BMC с пря­мы­ми уг­ла­ми K, L и M со­от­вет­ствен­но.

а)  До­ка­жи­те, что LC  — вы­со­та тре­уголь­ни­ка KLM.

б)  Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка KLM, если LC  =  10.

В тре­уголь­ни­ке ABC про­ве­де­ны две вы­со­ты BM и CN, при­чем AM : CM  =  2 : 3 и

а)  До­ка­жи­те, что угол ABC тупой.

б)  Най­ди­те от­но­ше­ние пло­ща­дей тре­уголь­ни­ков BMN и ABC.

От­ре­зок CH  — вы­со­та пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка ABC с пря­мым углом C. На ка­те­тах AC и BC вы­бра­ны точки M и N со­от­вет­ствен­но такие, что

a) До­ка­жи­те, что тре­уголь­ник MNH по­до­бен тре­уголь­ни­ку ABC.

б)  Най­ди­те CN, если BC  =  3, AC  =  5, CM  =  2.

Дан тре­уголь­ник ABC со сто­ро­на­ми AB  =  4, BC  =  5 и AC  =  6.

а)  До­ка­жи­те, что пря­мая, про­хо­дя­щая через точку пе­ре­се­че­ния ме­ди­ан и центр впи­сан­ной окруж­но­сти, па­рал­лель­на сто­ро­не BC.

б)  Най­ди­те длину бис­сек­три­сы тре­уголь­ни­ка ABC, про­ве­ден­ной из вер­ши­ны A.

В ост­ро­уголь­ном тре­уголь­ни­ке ABC про­ве­де­ны вы­со­ты BB₁ и CC₁. Пря­мые B₁C₁ и BC пе­ре­се­ка­ют­ся в точке P.

а)  До­ка­жи­те, что тре­уголь­ни­ки PBC₁ и PB₁C по­доб­ны.

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние от вер­ши­ны A до точки пе­ре­се­че­ния высот тре­уголь­ни­ка ABC, если BP  =  BB₁, ∠ABC  =  80°, а точка B лежит между C и P.

Пло­щадь тре­уголь­ни­ка ABC равна 10, пло­щадь тре­уголь­ни­ка AHB, где H  — точка пе­ре­се­че­ния высот, равна 8. На пря­мой CH взята такая точка K, что тре­уголь­ник ABK  — пря­мо­уголь­ный.

а)  До­ка­зать, что

б)  Найти пло­щадь тре­уголь­ни­ка ABK.

Дан ост­ро­уголь­ный тре­уголь­ник ABC. Бис­сек­три­са внут­рен­не­го угла при вер­ши­не B пе­ре­се­ка­ет бис­сек­три­су внеш­не­го угла при вер­ши­не C в точке M, а бис­сек­три­са внут­рен­не­го угла при вер­ши­не C пе­ре­се­ка­ет бис­сек­три­су внеш­не­го угла при вер­ши­не B в точке N.

а)  До­ка­жи­те, что

б)  Най­ди­те BM, если AB  =  AC  =  5, BC  =  6.

Диа­го­на­ли АС и ВD вы­пук­ло­го четырёхуголь­ни­ка ABCD пе­ре­се­ка­ют­ся в точке Р. Из­вест­но, что угол DAC равен 90°, а угол ACB в 2 раза боль­ше угла ADB. Сумма угла DBС и удво­ен­но­го угла ADС равна 180°.

а)  До­ка­жи­те, что ВР  =  2AP.

б)  Най­ди­те пло­щадь четырёхуголь­ни­ка AВCD, если BD  =  8 и точка Р яв­ля­ет­ся се­ре­ди­ной диа­го­на­ли BD.

В тре­уголь­ни­ке ABC ме­ди­а­ны AA₁, BB₁ и CC₁ пе­ре­се­ка­ют­ся в точке O. Точки K, L, M при­над­ле­жат от­рез­кам AA₁, BB₁ и CC₁ со­от­вет­ствен­но, при­чем AK  =  KA₁, BL : LB₁  =  1 : 4, CM : MC₁  =  1 : 3. Пло­щадь тре­уголь­ни­ка ABC равна 200.

а)  До­ка­жи­те, что OL : BB₁  =  7 : 15.

б)  Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка KLM.

Пусть AA₁, BB₁ и CC₁  — вы­со­ты ост­ро­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка ABC с углом 45° при вер­ши­не C.

а)  До­ка­жи­те, что тре­уголь­ник A₁B₁C₁ пря­мо­уголь­ный.

б)  Най­ди­те от­но­ше­ние, в ко­то­ром вы­со­та АА₁ делит от­ре­зок В₁С₁, если BC  =  2B₁C₁.

На про­дол­же­нии сто­ро­ны AC за вер­ши­ну A тре­уголь­ни­ка ABC от­ло­жен от­ре­зок AD, рав­ный сто­ро­не AB. Пря­мая, про­хо­дя­щая через точку A па­рал­лель­но BD, пе­ре­се­ка­ет сто­ро­ну BC в точке M.

а)  До­ка­жи­те, что AM  — бис­сек­три­са угла BAC.

б)  Най­ди­те пло­щадь тра­пе­ции AMBD, если пло­щадь тре­уголь­ни­ка ABC равна 144 и из­вест­но от­но­ше­ние AC : AB  =  3 : 1.

В тре­уголь­ни­ке ABC точки M и N лежат на сто­ро­нах AB и BC со­от­вет­ствен­но так, что Окруж­ность, впи­сан­ная в тре­уголь­ник ABC, ка­са­ет­ся от­рез­ка MN в точке K.

a) До­ка­жи­те, что

б) Най­ди­те ра­ди­ус окруж­но­сти, впи­сан­ной в тре­уголь­ник ABC, если и

В тре­уголь­ни­ке ABC, пло­щадь ко­то­ро­го равна 6, на ме­ди­а­нах AK, BL и CN взяты со­от­вет­ствен­но точки P, Q и R так, что AP  =  PK, а M  — точка пе­ре­се­че­ния ме­ди­ан.

а)  До­ка­жи­те, что

б)  Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка PQR.

Бис­сек­три­са BB₁ и вы­со­та CC₁ тре­уголь­ни­ка ABC пе­ре­се­ка­ют опи­сан­ную окруж­ность в точ­ках М и N. Из­вест­но, что и

а)  До­ка­жи­те, что CN  =  BМ.

б)  Пусть MN и ВС пе­ре­се­ка­ют­ся в точке D. Найти пло­щадь тре­уголь­ни­ка BDN, если его вы­со­та ВН равна 7.

В тре­уголь­ни­ке ABC на сто­ро­не BC от­ме­ти­ли точку D так, что AB  =  BD. Бис­сек­три­са BF пе­ре­се­ка­ет AD в точке E. Из точки C на пря­мую AD опу­щен пер­пен­ди­ку­ляр CK.

a) До­ка­жи­те, что

б) Най­ди­те от­но­ше­ние пло­ща­ди ABE к пло­ща­ди CDEF, если

В тре­уголь­ни­ке ABC точки M и N  — се­ре­ди­ны сто­рон AB и BC со­от­вет­ствен­но. Из­вест­но, что около че­ты­рех­уголь­ни­ка AMNC можно опи­сать окруж­ность.

а)  До­ка­жи­те, что тре­уголь­ник ABC  — рав­но­бед­рен­ный.

б)  На сто­ро­не AС от­ме­че­на точка F, такая что От­ре­зок BF пе­ре­се­ка­ет от­ре­зок MN в точке E. Най­ди­те ра­ди­ус окруж­но­сти, опи­сан­ной около четырёхуголь­ни­ка AMNC, если и

Дан тре­уголь­ник АВС. Бис­сек­три­са внут­рен­не­го угла при вер­ши­не В пе­ре­се­ка­ет бис­сек­три­су внеш­не­го угла при вер­ши­не С в точке М, а бис­сек­три­са внут­рен­не­го угла при вер­ши­не С пе­ре­се­ка­ет бис­сек­три­су внеш­не­го угла при вер­ши­не В в точке N.

а)  До­ка­жи­те, что

б)  Най­ди­те CN, если и

На сто­ро­не BC тре­уголь­ни­ка ABC, в ко­то­ром взята точка D так, что Бис­сек­три­са BL пе­ре­се­ка­ет от­ре­зок AD в точке P, от­ре­зок CK  — пер­пен­ди­ку­ляр к пря­мой AD.

а)  До­ка­жи­те, что

б)  Най­ди­те от­но­ше­ние пло­ща­ди тре­уголь­ни­ка ABP к пло­ща­ди че­ты­рех­уголь­ни­ка CDPL, если

В ост­ро­уголь­ном тре­уголь­ни­ке ABC на вы­со­те AD взята точка M, а на вы­со­те BP точка N так, что углы BMC и ANC  — пря­мые. Из­вест­но, что и

а)  До­ка­жи­те, что

б)  Най­ди­те длину бис­сек­три­сы CL тре­уголь­ни­ка MCN.

В ост­ро­уголь­ном тре­уголь­ни­ке про­ве­де­ны вы­со­та BH и ме­ди­а­на AM, при­чем точки A, B, Н и М лежат на одной окруж­но­сти.

а)  До­ка­жи­те, что тре­уголь­ник ABC рав­но­бед­рен­ный.

б)  Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка ABC, если и MH  =  3.

На сто­ро­нах остро­го угла с вер­ши­ной О взяты точки А и В. На луче ОВ взята точка M на рас­сто­я­нии 3OA от пря­мой OA, а на луче OA  — точка N на рас­сто­я­нии 3OB от пря­мой ОВ. Ра­ди­ус окруж­но­сти, опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка AOB, равен 3.

а)  До­ка­жи­те, что тре­уголь­ник АОВ по­до­бен тре­уголь­ни­ку MON.

б)  Най­ди­те длину от­рез­ка MN.

В тре­уголь­ни­ке KLM на про­дол­же­нии сто­ро­ны KL за точку L взята точка D, точка N лежит на пе­ре­се­че­нии бис­сек­три­сы угла MLD и пря­мой KM. От­рез­ки KC и NP  — бис­сек­три­сы тре­уголь­ни­ка KLN,

а)  До­ка­жи­те, что

б)  Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка LMC, если KL  =  10 и ML  =  5.

В тре­уголь­ни­ке ABC на сто­ро­нах BC, AC и AB взяты со­от­вет­ствен­но точки A₁, B₁, C₁ так, что пря­мые AA₁, BB₁, CC₁ пе­ре­се­ка­ют­ся в одной точке.

а)  До­ка­жи­те, что

б)  Пусть Р  — точка пе­ре­се­че­ния пря­мых AA₁, BB₁, CC₁. Най­ди­те от­но­ше­ние если из­вест­но, что точки B₁ и C₁ делят сто­ро­ны AC и AB со­от­вет­ствен­но в от­но­ше­ни­ях 3 : 2 и 2 : 1, счи­тая от вер­ши­ны A.

На ме­ди­а­не AD тре­уголь­ни­ка ABC от­ме­ти­ли точку E. Точка F  — се­ре­ди­на от­рез­ка BE, G  — точка пе­ре­се­че­ния от­рез­ков AD и CF. От­но­ше­ние пло­ща­ди тре­уголь­ни­ка EFG к пло­ща­ди тре­уголь­ни­ка ABC равно 1 : 8.

а)  До­ка­жи­те, что

б)  Най­ди­те пло­щадь че­ты­рех­уголь­ни­ка BDGF, если AB  =  7 и AC  =  10.

На сто­ро­не AC рав­но­сто­рон­не­го тре­уголь­ни­ка ABC взяли точку M. Се­ре­дин­ный пер­пен­ди­ку­ляр к BM пе­ре­се­ка­ет AB и BC в точ­ках E и K со­от­вет­ствен­но.

а)  До­ка­жи­те, что углы AEM и KMC равны.

б)  Най­ди­те от­но­ше­ние пло­ща­дей тре­уголь­ни­ков AEM и MKC, если

На сто­ро­нах AB и AC тре­уголь­ни­ка ABC от­ме­че­ны точки C₁ и B₁ со­от­вет­ствен­но. Ока­за­лось, что BC₁  =  CB₁  =  BC.

а)  До­ка­жи­те, что точки B, C и се­ре­ди­ны от­рез­ков BB₁ и CC₁ лежат на одной окруж­но­сти.

б)  Най­ди­те ко­си­нус угла между пря­мы­ми BB₁ и CC₁, если BC  =  8, AB  =  15, AC  =  17.

В ост­ро­уголь­ном тре­уголь­ни­ке ABC угол A равен 60°. Точка D  — точка пе­ре­се­че­ния бис­сек­трис, точка Н  — точка пе­ре­се­че­ния высот.

а)  До­ка­жи­те, что точки B, C, H и D лежат на одной окруж­но­сти.

б)  Най­ди­те угол ABC, если

От­ре­зок AA₁  — вы­со­та ост­ро­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка ABC, H  — точка пе­ре­се­че­ния его высот, М  — се­ре­ди­на сто­ро­ны ВС.

а)  До­ка­жи­те, что

б)  Най­ди­те длину от­рез­ка АН, если и

В ост­ро­уголь­ном тре­уголь­ни­ке ABC вы­со­ты AA₁, BB₁ и CC₁ пе­ре­се­ка­ют­ся в точке Н. Через точку C₁ па­рал­лель­но вы­со­те BB₁ про­ве­де­на пря­мая, пе­ре­се­ка­ю­щая вы­со­ту АА₁ в точке К.

а)  До­ка­жи­те, что

б)  Най­ди­те от­но­ше­ние пло­ща­дей тре­уголь­ни­ков С₁HK и ABC, если и

В тре­уголь­ни­ке MNK из­вест­но, что: и В тре­уголь­ник MNK впи­сан квад­рат, две вер­ши­ны ко­то­ро­го лежат на сто­ро­не MN, одна на сто­ро­не NK и одна на сто­ро­не MK. Через се­ре­ди­ну сто­ро­ны MN и центр квад­ра­та про­ве­де­на пря­мая, ко­то­рая пре­се­ка­ет­ся с вы­со­той KH в точке O, а с пря­мой NK  — в точке F.

а)  До­ка­жи­те, что

б)  Най­ди­те FK.

В тре­уголь­ни­ке FGH угол G пря­мой, Точка D лежит на сто­ро­не FH, A и B  — точки пе­ре­се­че­ния ме­ди­ан тре­уголь­ни­ков FGD и DGH со­от­вет­ствен­но.

а)  До­ка­жи­те, что

б)  Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка GAB.

На бо­ко­вых сто­ро­нах AB и BC рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка ABC со сто­ро­на­ми и от­ме­че­ны точки E и D со­от­вет­ствен­но так, что От­рез­ки AD и CE пе­ре­се­ка­ют­ся в точке O.

а)  До­ка­жи­те, что от­но­ше­ние пло­ща­дей тре­уголь­ни­ков AOE и COD равно 14 : 3.

б)  Най­ди­те пло­щадь че­ты­рех­уголь­ни­ка BDOE.

Дан рав­но­сто­рон­ний тре­уголь­ник АВС. На сто­ро­не АС вы­бра­на точка М, се­ре­дин­ный пер­пен­ди­ку­ляр к от­рез­ку ВМ пе­ре­се­ка­ет сто­ро­ну АВ в точке E, а сто­ро­ну ВС в точке K.

а)  До­ка­жи­те, что угол АЕМ равен углу СМK.

б)  Най­ди­те от­но­ше­ние пло­ща­дей тре­уголь­ни­ков АЕМ и СМK, если AM : CM  =  1 : 4.

В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке MNK точки P и T  — се­ре­ди­ны ги­по­те­ну­зы NK и ка­те­та MK со­от­вет­ствен­но. Бис­сек­три­са угла MNK пе­ре­се­ка­ет пря­мую PT в точке Q.

а)  До­ка­жи­те, что тре­уголь­ни­ки KQM и NPQ по­доб­ны.

б)  Най­ди­те ко­си­нус угла KNM, если от­но­ше­ние пло­ща­дей тре­уголь­ни­ков KQM и NPQ равно 0,8.

В тре­уголь­ни­ке FGH угол G пря­мой. Точка D лежит на сто­ро­не FH, A и В  — точки пе­ре­се­че­ния ме­ди­ан тре­уголь­ни­ков FGD и DGH со­от­вет­ствен­но, L  — се­ре­ди­на DF, K  — се­ре­ди­на DH.

а)  До­ка­жи­те, что KL : FH  =  1 : 2.

б)  Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка GAB, если FG  =  8, GH  =  2.

В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке АВС про­ве­де­на вы­со­та СН из вер­ши­ны пря­мо­го угла, АМ и СN  — бис­сек­три­сы тре­уголь­ни­ков ACH и ВСН со­от­вет­ствен­но.

а)  До­ка­жи­те, что пря­мые АМ и СN пер­пен­ди­ку­ляр­ны.

б)  Най­ди­те длину от­рез­ка МN, если ВС  =  20 и

В тре­уголь­ни­ке ABC про­ве­де­ны вы­со­та AH и ме­ди­а­на AM, угол ACB равен 30°. Точка H лежит на от­рез­ке BM. В тре­уголь­ни­ке ACM про­ве­де­на вы­со­та MQ. Пря­мые MQ и AH пе­ре­се­ка­ют­ся в точке F. Из­вест­но, что AM  — бис­сек­три­са угла HAC.

а)  До­ка­жи­те, что тре­уголь­ник ABC пря­мо­уголь­ный.

б)  Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка CFM, если AB  =  10.

В тре­уголь­ни­ке АВС на сто­ро­нах АВ и ВС от­ме­че­ны точки М и N со­от­вет­ствен­но, при­чем ВМ  =  ВN. Через точку М про­ве­де­на пря­мая, пер­пен­ди­ку­ляр­ная ВС, а через точку N  — пря­мая, пер­пен­ди­ку­ляр­ная АВ. Эти пря­мые пе­ре­се­ка­ют­ся в точке О. Про­дол­же­ние от­рез­ка ВО пе­ре­се­ка­ет сто­ро­ну АС в точке Р, АР  =  5, РС  =  4.

а)  До­ка­жи­те, что ВР  — бис­сек­три­са тре­уголь­ни­ка АВС.

б)  Най­ди­те длину от­рез­ка ВР, если ВС  =  6.