В треугольнике ABC угол ABC тупой, H — точка пересечения продолжений высот, угол AHC равен 60°.
а) Докажите, что угол ABC равен 120°.
б) Найдите BH, если 
и 
а) Рассмотрим треугольник AHC. В нем AA1 и CC1 — высоты. Тупой угол между высотами дополняет угол между сторонами, к которым они проведены, до 180°. Поэтому 
б) Рассмотрим треугольник AHC, в нем 
Сторону AC найдём по теореме косинусов:
Таким образом, 
Ответ: б) 
Докажем утверждение, использованное при решении пункта а).
В четырехугольнике 
сумма прямых углов 
и 
равна 180°, поэтому сумма двух других углов 
и 
также равна 180°. Тогда 
Углы и ABC равны как вертикальные, поэтому 
Таким образом, тупой угол между высотами дополняет угол между сторонами, к которым они проведены, до 180°.
Сформулируем теорему, которую мы применили для решения пункта б).
Расстояние от вершины треугольника до точки пересечения его высот равно произведению стороны, противолежащей этой вершине, на котангенс угла при этой вершине. Действительно, пусть высоты AA1, BB1, CC1 треугольника ABC пересекаются в точке H. Стороны прямоугольных треугольников АСС1 и ВНС1 взаимно перпендикулярны, а потому их острые углы АСС1 и ВНС1 равны. Следовательно, эти треугольники подобны. Тогда 
откуда 
Для остроугольного треугольника доказательство аналогично. Для прямоугольного треугольника доказательство напрямую следует из определения котангенса.
Рекомендуем сравнить эту задачу с заданием 505425 из экзаменационного варианта ЕГЭ 2014 года.
Приведем другое решение пункта б):
Рассмотрим треугольник C1CH, заметим, что угол C1CH равен 30°. Поэтому в прямоугольном треугольнике CBA1 катет BA1 вдвое меньше гипотенузы: BA1 = 4. Значит, АA1 = 11. Из треугольника AA1H находим 
Теперь по теореме Пифагора вычисляем:
Приведем ещё одно решение пункта б):
Заметим, что в треугольнике АНС точка В — ортоцентр. В силу свойства ортоцентра 
откуда получаем: 
(это же следует из подобия треугольников 
и 
).
Из прямоугольного треугольника CBA1 находим катет BA1, противолежащий углу в 30°: BA1 = 4. Из треугольника АВС находим высоту:
Тогда
Приведем решение пункта б) Николая Тихонова.
В треугольнике ABC найдем сторону AC по теореме косинусов:
Пусть 
тогда в прямоугольном треугольнике BA1C имеем: 
В прямоугольном треугольнике A1AC имеем: 
тогда
отсюда 
тогда 
и 
Рассмотрим треугольник ABC, его площадь равна
и
отсюда
Угол ABB1 равен углу HBA1 как вертикальные, следовательно,
и
Примечание.
Полезно будет сравнить эту задачу с заданием 519425 из экзаменационного варианта ЕГЭ 2014 года, заданием 519475 из ЕГЭ-2018, заданием 526342 из ЕГЭ-2019, заданием 656585 из ЕГЭ-2024.