а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Най­ди­те все корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

В пра­виль­ной тре­уголь­ной приз­ме ABCA₁B₁C₁ сто­ро­на ос­но­ва­ния равна 12, а бо­ко­вое ребро AA₁ равно На рёбрах AB и B₁C₁ от­ме­че­ны точки K и L, со­от­вет­ствен­но, причём AK  =  2, а B₁L  =  4. Точка M  — се­ре­ди­на ребра A₁C₁. Плос­кость γ па­рал­лель­на ребру AC и со­дер­жит точки K и L.

а)  До­ка­жи­те, что пря­мая BM пер­пен­ди­ку­ляр­на плос­ко­сти γ.

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние от точки C до плос­ко­сти γ.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство

В ост­ро­уголь­ном тре­уголь­ни­ке АВС про­ве­де­ны вы­со­ты АК и СМ. На них из точек М и К опу­ще­ны пер­пен­ди­ку­ля­ры МЕ и КН со­от­вет­ствен­но.

а)  До­ка­жи­те, что пря­мые ЕН и АС па­рал­лель­ны.

б)  Най­ди­те от­но­ше­ние ЕН : АС, если угол АВС равен 30°.

15-⁠го ян­ва­ря пла­ни­ру­ет­ся взять кре­дит в банке на шесть ме­ся­цев в раз­ме­ре 1 млн руб­лей. Усло­вия его воз­вра­та та­ко­вы:

— 1-⁠го числа каж­до­го ме­ся­ца долг уве­ли­чи­ва­ет­ся на r про­цен­тов по срав­не­нию с кон­цом преды­ду­ще­го ме­ся­ца, где r  — целое число;

— со 2-⁠го по 14-⁠е число каж­до­го ме­ся­ца не­об­хо­ди­мо вы­пла­тить часть долга;

— 15-⁠го числа каж­до­го ме­ся­ца долг дол­жен со­став­лять не­ко­то­рую сумму в со­от­вет­ствии со сле­ду­ю­щей таб­ли­цей.

Най­ди­те наи­боль­шее зна­че­ние r, при ко­то­ром общая сумма вы­плат будет мень­ше 1,2 млн руб­лей.

Най­ди­те все зна­че­ния а, при каж­дом из ко­то­рых урав­не­ние

имеет ровно три раз­лич­ных ре­ше­ния.

На доске на­пи­са­ны числа 2 и 3. За один ход два числа a и b, за­пи­сан­ные на доске, за­ме­ня­ют­ся на два числа: или a + b и 2a − 1, или a + b и 2b − 1 (на­при­мер, из чисел 2 и 3 можно по­лу­чить либо 3 и 5, либо 5 и 5).

а)  При­ве­ди­те при­мер по­сле­до­ва­тель­но­сти ходов, после ко­то­рых одно из двух чисел, на­пи­сан­ных на доске, ока­жет­ся чис­лом 13.

б)  Может ли после 200 ходов одно из двух чисел, на­пи­сан­ных на доске, ока­зать­ся чис­лом 400?

в)  Сде­ла­ли 513 ходов, причём на доске ни­ко­гда не было на­пи­са­но од­но­вре­мен­но двух рав­ных чисел. Какое наи­мень­шее зна­че­ние может при­ни­мать раз­ность боль­ше­го и мень­ше­го из по­лу­чен­ных чисел?