Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
В остроугольном треугольнике ABC высоты AA1, BB1 и CC1 пересекаются в точке Н. Через точку C1 параллельно высоте BB1 проведена прямая, пересекающая высоту АА1 в точке К.
а) Докажите, что 
б) Найдите отношение площадей треугольников С1HK и ABC, если 
и 
Решение.
Спрятать критерии
а) По теореме Фалеса
откуда находим: 
Из равенства углов 
следует подобие треугольников BCC1 и HAC1, откуда находим:
Окончательно получаем, что
б) Заметим, что
Тогда
Здесь мы использовали результат пункт а).
По теореме косинусов
следовательно, 
Получаем:
а так как 
то
Следовательно, 
Таким образом, отношение площадей треугольников С1HK и ABC равно
Ответ: б) 
Методы геометрии: Теорема косинусов, Теорема Фалеса
Классификатор планиметрии: Треугольники