Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 16 № 548427

На сторонах AB, BC и AC треугольника ABC отмечены точки C1, A1 и B1 соответственно, причём AC1 : C1B = 8 : 3, BA1 : A1C = 1 : 2, CB1 : B1A = 3 : 1. Отрезки BB1 и CC1 пересекаются в точке D.

а) Докажите, что ADA1B1 — параллелограмм.

б) Найдите CD, если отрезки AD и BC перпендикулярны, AC = 28, BC = 18.

Спрятать решение

Решение.

а) По теореме Менелая  дробь: числитель: AC_1, знаменатель: C_1B конец дроби умножить на дробь: числитель: BD, знаменатель: DB_1 конец дроби умножить на дробь: числитель: B_1C, знаменатель: CA конец дроби =1, откуда  дробь: числитель: BD, знаменатель: DB_1 конец дроби = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби . Имеем:  дробь: числитель: BD, знаменатель: BB_1 конец дроби = дробь: числитель: BA_1, знаменатель: BC конец дроби = дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби , следовательно, треугольники DBA_1 и B_1BC подобны по второму признаку, откуда DA_1\parallel B_1C и DA_1= дробь: числитель: B_1C, знаменатель: 3 конец дроби . Но по условию AB_1= дробь: числитель: B_1C, знаменатель: 3 конец дроби , поэтому отрезки DA_1 и AB_1 равны и параллельны, а значит, ADA_1B_1 — параллелограмм по признаку.

б) Пусть Q — точка пересечения прямых AD и BC. По теореме Чевы  дробь: числитель: AC_1, знаменатель: C_1B конец дроби умножить на дробь: числитель: BQ, знаменатель: QC конец дроби умножить на дробь: числитель: CB_1, знаменатель: B_1A конец дроби =1, откуда  дробь: числитель: BQ, знаменатель: QC конец дроби = дробь: числитель: 1, знаменатель: 8 конец дроби , а тогда QC=16. По теореме Пифагора в треугольнике AQC имеем: AQ= корень из 28 в квадрате минус 16 в квадрате = корень из 528. По теореме Менелая  дробь: числитель: QD, знаменатель: DA конец дроби умножить на дробь: числитель: AC_1, знаменатель: C_1B конец дроби умножить на дробь: числитель: BC, знаменатель: CQ конец дроби =1, откуда  дробь: числитель: QD, знаменатель: DA конец дроби = дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби . Тогда QD= дробь: числитель: AQ, знаменатель: 4 конец дроби = дробь: числитель: корень из 528, знаменатель: 4 конец дроби = корень из 33, и по теореме Пифагора для треугольника DQC находим CD= корень из 33 плюс 256=17.

 

Ответ: б) 17.

 

Замечание. Некоторые читатели недооценивают теоремы Менелая и Чевы, другие считают их «хитроумными»; многие полагают, что эти теоремы излишни в курсе планиметрии. Укажем, как обойтись без теоремы Менелая в решении пункта а).

 

Приведём другое решение.

а) Пусть точка O, лежащая на стороне АВ такова, что отрезок B_1O параллелен CC_1. Тогда по обобщенной теореме Фалеса, примененной к отрезкам AB_1, B_1C и параллельным прямым B_1O и CC_1, получаем:  дробь: числитель: AO, знаменатель: OC_1 конец дроби = дробь: числитель: AB_1, знаменатель: B_1C конец дроби = дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби . Пусть AC_1=8x, C_1B=3x, тогда из полученного соотношения находим, что AO=2x, OC_1=6x. Снова применим обобщенную теорему Фалеса — для отрезков BC_1, C_1O и параллельных прямых C_1D, OB_1. Получим:  дробь: числитель: BD, знаменатель: DB_1 конец дроби = дробь: числитель: BC_1, знаменатель: C_1O конец дроби = дробь: числитель: 3x, знаменатель: 6x конец дроби = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби . Значит, точка D делит отрезок BB1 так же, как точка А1 делит ВС. По теореме, обратной обобщенной теореме Фалеса, из этого следует параллельность прямых DA1 и B1C, а также подобие треугольников BDA1 и BB1C.

Пусть B1C = 3z, тогда в силу подобия DA_1= дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби B_1С=z. Но по условию AB_1=z, следовательно, DA_1=AB_1. Тем самым противоположные стороны DA_1 и AB_1 четырехугольника ADA_1B_1 не только параллельны, но и равны. Таким образом, этот четырехугольник — параллелограмм.

б) Из условия получаем, что AB_1=7, A_1C=12. Четырехугольник ADA_1B_1 — параллелограмм, поэтому DA_1=AB_1=7. По теореме Фалеса для отрезков AB_1, B_1C и параллельных прямых AQ и B_1A_1 получаем:  дробь: числитель: QA_1, знаменатель: A_1C конец дроби = дробь: числитель: AB_1, знаменатель: B_1C конец дроби = дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби , откуда QA_1=4. По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике DQA_1 находим  DQ= корень из 49 минус 16= корень из 33. По теореме Пифагора в треугольнике DQC вычисляем CD= корень из 33 плюс 256=17.

 

 

Приведем решение Анны Букиной (Иркутск).

а) Через вершину В проведем прямую OM, параллельную AC, и введем обозначения, как показано на рисунке. Треугольники OC1B и AC1C подобны по двум углам, поэтому

OB= дробь: числитель: BC_1, знаменатель: AC_1 конец дроби умножить на AC = дробь: числитель: 3, знаменатель: 8 конец дроби умножить на 4z= дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби z.

Треугольники OBD и DB1C подобны по двум углам, поэтому

 дробь: числитель: BD, знаменатель: DB_1 конец дроби = дробь: числитель: OB, знаменатель: B_1C конец дроби = дробь: числитель: дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби z, знаменатель: 3z конец дроби = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ,

следовательно, треугольники BDA1 и BB1C подобны по двум пропорциональным сторонам и углу между ними, тогда

DA1 || B1C,  дробь: числитель: DA_1, знаменатель: B_1C конец дроби = дробь: числитель: BD, знаменатель: BB_1 конец дроби = дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби , откуда DA_1= дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби B_1C=z=AB_1, то есть противоположные стороны DA_1 и AB_1 четырехугольника ADA_1B_1 параллельны и равны. Тем самым этот четырехугольник — параллелограмм.

б) Заметим, что треугольник B_1A_1C прямоугольный с гипотенузой B_1C=21 и катетом A_1C = 12, а потому  косинус B_1CA_1 = дробь: числитель: CA_1, знаменатель: CB_1 конец дроби = дробь: числитель: 4, знаменатель: 7 конец дроби . Сумма углов, прилежащих к боковой стороне трапеции, равна 180°, поэтому

 косинус DA_1C = косинус левая круглая скобка 180 градусов минус B_1CA_1 правая круглая скобка = минус косинус B_1CA_1 = минус дробь: числитель: 4, знаменатель: 7 конец дроби .

Применим теорему косинусов к треугольнику DA_1C, имеем:

CD в квадрате = A_1D в квадрате плюс A_1C в квадрате минус 2 A_1D умножить на A_1C косинус DA_1C = 7 в квадрате плюс 12 в квадрате минус 2 умножить на 7 умножить на 12 \cdor левая круглая скобка минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 7 конец дроби правая круглая скобка = 289,

а значит, CD = 17.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)3
Получен обоснованный ответ в пункте б)

ИЛИ

имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки

2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а)

ИЛИ

при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,

ИЛИ

обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше0
Максимальный балл3
Источник: ЕГЭ по математике 10.07.2020. Основная волна. Санкт-Петербург, Задания 16 ЕГЭ–2020
Классификатор планиметрии: Подобие, Треугольники