В треугольнике ABC на сторонах BC, AC и AB взяты соответственно точки A1, B1, C1 так, что прямые AA1, BB1, CC1 пересекаются в одной точке.
а) Докажите, что 
б) Пусть Р — точка пересечения прямых AA1, BB1, CC1. Найдите отношение 
если известно, что точки B1 и C1 делят стороны AC и AB соответственно в отношениях 3 : 2 и 2 : 1, считая от вершины A.
а) Проведем через точку B прямую, параллельную AC, тогда прямая AA1 пересекает эту прямую в точке N и прямая CC1 пересекает эту прямую в точке M. Из подобия треугольников AC1C и BC1M получим, что 
Из подобия треугольников A1BN и A1CA получим, что 
Из подобия треугольников B1PC и BPM получим, что 
Аналогично 
Значит,
Тогда
Что и требовалось доказать.
б) Из пункта а) следует, что 
откуда 
Далее, по теореме Менелая для треугольника ABA1 и секущей PC получим:
откуда 
то есть 
Ответ: б) 7 : 2.
Примечание 1.
Сформулированное в пункте а) утверждение носит название теоремы Чевы. В школьных учебниках можно найти и другие доказательства.
Примечание 2.
Читатель, знающий и любящий теорему Ван-Обеля, может применить ее для решения пункта б). Из нее сразу же следует ответ:
Примечание 3.
О теоремах Чевы и Ван-Обеля можно посмотреть короткое видео на нашем канале.
Простые и более сложные задачи можно найти в нашем задачнике.