На гипотенузу AB прямоугольного треугольника ABC опустили высоту CH. Из точки H на катеты опустили перпендикуляры HK и HE.
а) Докажите, что точки A, B, K и E лежат на одной окружности.
б) Найдите радиус этой окружности, если AB = 12, CH = 5.
а) Предположим для определённости, что точка E лежит на катете BC, а точка K — на катете AC. Проведём отрезок KE и заметим, что он является гипотенузой прямоугольного треугольника KCE, подобного треугольнику ABC.
Рассмотрим углы четырёхугольника ABEK. Если ∠ABE = α, то
а 
Значит,
Сумма двух противоположных углов в четырёхугольнике 180°, следовательно, четырёхугольник вписан в окружность.
б) Радиус окружности, проходящей через точки A, B и E, найдем по теореме синусов:
Из подобия треугольников CEH и ABC находим
откуда 
Тогда
Поэтому
Следовательно, искомый радиус
Приведем еще одно решение пункта б).
Продолжим отрезок КН за точку Н, точку его пересечения окружностью назовем Р. Прямые KP и ВС параллельны, следовательно, 
Заметим, что 
как вписанные, опирающиеся на одну дугу. Значит,
то есть 
— прямой. Таким образом, прямые BP и СH параллельны, и четырехугольник CHPB — параллелограмм, в котором BP = CH = 5. Отрезок AP — диаметр окружности, найдем его из прямоугольного треугольника ABP:
Следовательно, искомый радиус 
Приведем решение пункта б) Евгения Матвеева.
В прямоугольном треугольнике ABC имеем: 
В прямоугольном треугольнике CHK имеем: 
Тогда 
Радиус окружности, описанной вокруг треугольника ABK по теореме синусов
Ответ: 
Так как в условии не требуется записывать ответ в виде обыкновенной дроби, поэтому удобней и естественней записать его десятичной дробью, а именно 6,5.
В математике (если не брать формы машиночитаемую проверку ответов) редко используют десятичные дроби.