а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Ука­жи­те корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

В пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­де MABC с ос­но­ва­ни­ем ABC сто­ро­ны ос­но­ва­ния равны 6, а бо­ко­вые ребра равны 5. На ребре AC на­хо­дит­ся точка D, на ребре AB на­хо­дит­ся точка E, а на ребре AM  — точка L. Из­вест­но, что AD  =  AE  =  AL  =  4.

а)  До­ка­жи­те, что от­ре­зок DE со­дер­жит центр ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды.

б)  Най­ди­те угол между плос­ко­стью ос­но­ва­ния и плос­ко­стью, про­хо­дя­щей через точки E, D и L.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство

Вклад­чик раз­ме­стил в банке 32 ты­ся­чи руб­лей. Не­сколь­ко лет он по­лу­чал то 5%, то 10% го­до­вых, а за по­след­ний год по­лу­чил 25% го­до­вых. При этом про­цен­ты на­чис­ля­лись в конце каж­до­го года и до­бав­ля­лись к сумме вкла­да. В ре­зуль­та­те его вклад стал рав­ным 53 361 рублю. Сколь­ко лет про­ле­жал вклад?

Дан тре­уголь­ник ABC со сто­ро­на­ми AB  =  4, BC  =  5 и AC  =  6.

а)  До­ка­жи­те, что пря­мая, про­хо­дя­щая через точку пе­ре­се­че­ния ме­ди­ан и центр впи­сан­ной окруж­но­сти, па­рал­лель­на сто­ро­не BC.

б)  Най­ди­те длину бис­сек­три­сы тре­уголь­ни­ка ABC, про­ве­ден­ной из вер­ши­ны A.

Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра a, при каж­дом из ко­то­рых си­сте­ма урав­не­ний

имеет един­ствен­ное ре­ше­ние.

Числа 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 16 про­из­воль­но делят на три груп­пы так, чтобы в каж­дой груп­пе было хотя бы одно число. Затем вы­чис­ля­ют зна­че­ние сред­не­го ариф­ме­ти­че­ско­го чисел в каж­дой из групп (для груп­пы из един­ствен­но­го числа сред­нее ариф­ме­ти­че­ское равно этому числу).

а)  Могут ли быть оди­на­ко­вы­ми два из этих трех зна­че­ний сред­них ариф­ме­ти­че­ских в груп­пах из раз­но­го ко­ли­че­ства чисел?

б)  Могут ли быть оди­на­ко­вы­ми все три зна­че­ния сред­них ариф­ме­ти­че­ских?

в)  Най­ди­те наи­мень­шее воз­мож­ное зна­че­ние наи­боль­ше­го из по­лу­ча­е­мых трех сред­них ариф­ме­ти­че­ских