а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Най­ди­те все корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

В ос­но­ва­нии че­ты­рех­уголь­ной пи­ра­ми­ды SABCD лежит квад­рат ABCD. Плос­кость α пе­ре­се­ка­ет ребра SA, SB, SC и SD в точ­ках L, K, N и M со­от­вет­ствен­но, при­чем SK : KB  =  3 : 1, а точки L и M  — се­ре­ди­ны ребер SA и SD.

а)  До­ка­жи­те, что че­ты­рех­уголь­ник KLMN яв­ля­ет­ся тра­пе­ци­ей, длины ос­но­ва­ний ко­то­рой от­но­сят­ся как 2 : 3.

б)  Най­ди­те вы­со­ту пи­ра­ми­ды, если угол между плос­ко­стя­ми ABC и α равен 30°, пло­щадь се­че­ния пи­ра­ми­ды плос­ко­стью α равна а пло­щадь ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды равна 32.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство

В июле 2026 года пла­ни­ру­ет­ся взять кре­дит в банке на че­ты­ре года в раз­ме­ре S млн руб., где S  — целое число. Усло­вия его воз­вра­та та­ко­вы:

  — каж­дый ян­варь долг уве­ли­чи­ва­ет­ся на 30% по срав­не­нию с кон­цом преды­ду­ще­го года;

  — с фев­ра­ля по июнь каж­до­го года не­об­хо­ди­мо вы­пла­тить одним пла­те­жом часть долга;

  — в июле каж­до­го года долг дол­жен со­став­лять часть кре­ди­та в со­от­вет­ствии со сле­ду­ю­щей таб­ли­цей:

Най­ди­те наи­мень­шее зна­че­ние S, при ко­то­ром общая сумма вы­плат будет боль­ше 20 млн руб.

На сто­ро­нах AB и AC тре­уголь­ни­ка ABC от­ме­че­ны точки C₁ и B₁ со­от­вет­ствен­но. Ока­за­лось, что BC₁  =  CB₁  =  BC.

а)  До­ка­жи­те, что точки B, C и се­ре­ди­ны от­рез­ков BB₁ и CC₁ лежат на одной окруж­но­сти.

б)  Най­ди­те ко­си­нус угла между пря­мы­ми BB₁ и CC₁, если BC  =  8, AB  =  15, AC  =  17.

Найти все зна­че­ния a, при каж­дом из ко­то­рых урав­не­ние

имеет хотя бы один ко­рень.

Есть кон­тей­не­ры мас­сой 7 тонн и мас­сой 2 тонны и ко­раб­ли гру­зо­подъ­ем­но­стью 10 тонн.

а)  Можно ли увез­ти за один раз 12 кон­тей­не­ров мас­сой 7 тонн и 24 кон­тей­не­ра мас­сой 2 тонны на 15 ко­раб­лях?

б)  Можно ли увез­ти за один раз 12 кон­тей­не­ров мас­сой 7 тонн и 18 кон­тей­не­ра мас­сой 2 тонны на 13 ко­раб­лях?

в)  На каком наи­мень­шем ко­ли­че­стве ко­раб­лей можно уве­сти за один раз 12 кон­тей­не­ров мас­сой 7 тонн и 45 кон­тей­не­ров мас­сой 2 тонны?