Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
На стороне AC равностороннего треугольника ABC взяли точку M. Серединный перпендикуляр к BM пересекает AB и BC в точках E и K соответственно.
а) Докажите, что углы AEM и KMC равны.
б) Найдите отношение площадей треугольников AEM и MKC, если 
Решение.
Спрятать критерииа) Из симметрии относительно отрезка EK получаем, что треугольники EMK и EBK равны, следовательно,
Пусть 
Тогда
Значит,
Таким образом, углы AEM и KMC равны.
б) Пусть 
и 
По теореме косинусов:
следовательно,
Треугольники AEM и CMK подобны (по двум углам). Коэффициент подобия равен:
Таким образом, отношение площадей треугольников AEM и MKC равно:
Ответ: б) 
Источники:
Методы геометрии: Симметрия в решениях, Теорема косинусов
Классификатор планиметрии: Равносторонний треугольник, Отношение длин, площадей, объемов подобных фигур