Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 16 № 514612

В прямоугольном треугольнике АВС с прямым углом С точки М и N — середины катетов АС и ВС соответственно, СН — высота.

а) Докажите, что прямые МН и NH перпендикулярны.

б) Пусть Р — точка пересечения прямых АС и NH, а Q — точка пересечения прямых BC и МН. Найдите площадь треугольника PQM, если АН = 4 и ВН = 2.

Спрятать решение

Решение.

а) Треугольники АНС и ВНС прямоугольные (рис. 1), поэтому MH= дробь: числитель: AC, знаменатель: 2 конец дроби =CM и NH= дробь: числитель: CB, знаменатель: 2 конец дроби =CN. Значит, треугольники MCN и MHN равны по трём сторонам, откуда \angle MHN = \angle MCN = 90 градусов.

б) В прямоугольном треугольнике АВС имеем: CH= корень из AH умножить на BH=2 корень из 2 (рис. 2).

В прямоугольном треугольнике МНР и MCQ с общим углом CMH получаем:

 дробь: числитель: MH, знаменатель: MP конец дроби = дробь: числитель: MC, знаменатель: MQ конец дроби = косинус \angle CMH,

поэтому треугольники МНС и MРQ подобны с коэффициентом подобия  косинус \angle CMH.

Площадь S треугольника МНС равна половине площади треугольника АНС, то есть S= дробь: числитель: AH умножить на CH, знаменатель: 4 конец дроби =2 корень из 2.

Найдём  косинус \angle CMH:

 косинус \angle CMH = косинус левая круглая скобка 2\angle CAH правая круглая скобка =2 косинус в квадрате \angle CAH минус 1=  дробь: числитель: 2AH в квадрате , знаменатель: AC в квадрате конец дроби минус 1= дробь: числитель: 2AH в квадрате , знаменатель: AH в квадрате плюс CH в квадрате конец дроби минус 1= дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби .

Значит, площадь треугольника MPQ равна  дробь: числитель: S, знаменатель: косинус в квадрате \angle CMH конец дроби =18 корень из 2.

 

Ответ: б) 18 корень из 2.

 

Примечание Дмитрий Гущина.

Площадь треугольника PQM равна половине произведения QC на PM. Для того, чтобы определить длины данных отрезков, можно два раза применить теорему Менелая к треугольнику АВС, заметив предварительно, что CH = 2 корень из 2 , AC = 2 корень из 6 и BC = 2 корень из 3 :

 дробь: числитель: 1, знаменатель: 1 конец дроби умножить на дробь: числитель: 2, знаменатель: 4 конец дроби умножить на дробь: числитель: 2 корень из 6 плюс CP, знаменатель: CP конец дроби =1 и  дробь: числитель: 2, знаменатель: 4 конец дроби умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: 1 конец дроби умножить на дробь: числитель: 2 корень из 3 плюс BQ, знаменатель: BQ конец дроби =1,

откуда: CP=2 корень из 6 , BQ=2 корень из 3 . Тогда PM=3 корень из 6 , QC=4 корень из 3 , следовательно,

S_PQM = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби умножить на 3 корень из 6 умножить на 4 корень из 3 = 18 корень из 2 .

 

Приведем решение пункта б) Ивана Гладких.

Проведем отрезок AQ, получим треугольник ACQ, в котором QM будет медианой, а отрезок AB будет пересекать медиану в точке H и разбиваться этой точкой на отрезки длинной 4 и 2, считая от вершины A. Следовательно, AB тоже медиана, тогда CB = BQ, а треугольник MPQ равнобедренный с равными сторонами HQ и CP.

В треугольнике ACQ отрезки QM и AB медианы, значит, QH=2MH=2CM=AC= корень из AH умножить на AB=2 корень из 6 , и CB=BQ= корень из BH умножить на AB=2 корень из 3 . В равнобедренном треугольнике MPQ имеем: HQ=CP= корень из 6 . Тогда для площади треугольника MPQ получаем:

S_MPQ = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби CQ умножить на MP = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби умножить на 3 корень из 6 умножить на 4 корень из 3 = 6 корень из 18=18 корень из 2 .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)3
Получен обоснованный ответ в пункте б)

ИЛИ

имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки

2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а)

ИЛИ

при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,

ИЛИ

обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше0
Максимальный балл3

Аналоги к заданию № 514612: 514605 Все

Источник: Задания 16 (С4) ЕГЭ 2016, ЕГЭ по математике 06.06.2016. Основная волна. Вариант 605 (C часть).
Классификатор планиметрии: Многоугольники и их свойства, Подобие