Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 17 № 552116
i

На сто­ро­не АВ тре­уголь­ни­ка АВС взята точка Е, а на сто­ро­не ВС  — точка D так, что АЕ  =  2, CD  =  1. Пря­мые AD и СЕ пе­ре­се­ка­ют­ся в точке О. Из­вест­но, что АВ  =  ВС  =  8, АС  =  6.

а)  До­ка­жи­те, что АО : АD  =  8 : 11.

б)  Най­ди­те пло­щадь че­ты­рех­уголь­ни­ка BDOE.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  За­пи­шем тео­ре­му Ме­не­лая для тре­уголь­ни­ка ABD и се­ку­щей CE:

дробь: чис­ли­тель: AE, зна­ме­на­тель: EB конец дроби умно­жить на дробь: чис­ли­тель: BC, зна­ме­на­тель: CD конец дроби умно­жить на дробь: чис­ли­тель: DO, зна­ме­на­тель: OA конец дроби =1 рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 6 конец дроби умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 8, зна­ме­на­тель: 1 конец дроби умно­жить на дробь: чис­ли­тель: DO, зна­ме­на­тель: OA конец дроби =1 рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: DO, зна­ме­на­тель: OA конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 8 конец дроби \Rightarrow дробь: чис­ли­тель: AO, зна­ме­на­тель: AD конец дроби = дробь: чис­ли­тель: DO, зна­ме­на­тель: DO плюс OA конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 8, зна­ме­на­тель: 11 конец дроби .

б)  Най­дем от­но­ше­ние пло­ща­дей тре­уголь­ни­ков AEO и ABD:

дробь: чис­ли­тель: S_AEO, зна­ме­на­тель: S_ABD конец дроби = дробь: чис­ли­тель: AE, зна­ме­на­тель: AB конец дроби умно­жить на дробь: чис­ли­тель: AO, зна­ме­на­тель: AD конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 8 конец дроби умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 8, зна­ме­на­тель: 11 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 11 конец дроби .

Зна­чит,

дробь: чис­ли­тель: S_BDOE, зна­ме­на­тель: S_ABD конец дроби =1 минус дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 11 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 9, зна­ме­на­тель: 11 конец дроби .

Тре­уголь­ни­ки ABD и ABC имеют общую вы­со­ту, про­ве­ден­ную из вер­ши­ны A, по­это­му их пло­ща­ди от­но­сят­ся, как сто­ро­ны BD и BC:

дробь: чис­ли­тель: S_ABD, зна­ме­на­тель: S_ABC конец дроби = дробь: чис­ли­тель: BD, зна­ме­на­тель: BC конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 7, зна­ме­на­тель: 8 конец дроби .

Зна­чит,

дробь: чис­ли­тель: S_BDOE, зна­ме­на­тель: S_ABC конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 9, зна­ме­на­тель: 11 конец дроби умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 7, зна­ме­на­тель: 8 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 63, зна­ме­на­тель: 88 конец дроби .

Най­дем пло­щадь тре­уголь­ни­ка ABC:

S_ABC= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на 6 умно­жить на ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 8 в квад­ра­те минус 3 в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та =3 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 55 конец ар­гу­мен­та .

Тогда для ис­ко­мой пло­ща­ди че­ты­рех­уголь­ни­ка BDOE по­лу­ча­ем:

S_BDOE= дробь: чис­ли­тель: 63, зна­ме­на­тель: 88 конец дроби умно­жить на 3 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 55 конец ар­гу­мен­та = дробь: чис­ли­тель: 189 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 55 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 88 конец дроби .

Ответ: б) дробь: чис­ли­тель: 189 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 55 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 88 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а и обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б3
По­лу­чен обос­но­ван­ный ответ в пунк­те б

ИЛИ

име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а и при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки

2
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а

ИЛИ

при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки.

ИЛИ

обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б и ис­поль­зо­ва­ни­ем утвер­жде­ния пунк­та а, при этом пункт а не вы­пол­нен

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше0
Мак­си­маль­ный балл3
Источник: А. Ларин. Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 327. (часть C)
Классификатор планиметрии: Мно­го­уголь­ни­ки, Мно­го­уголь­ни­ки и их свой­ства, Тре­уголь­ни­ки
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Видеокурс · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2026