Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 17 № 650213
i

От­ре­зок AA1  — вы­со­та ост­ро­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка ABC, H  — точка пе­ре­се­че­ния его высот, М  — се­ре­ди­на сто­ро­ны ВС.

а)  До­ка­жи­те, что A H умно­жить на A A_1 = A M в квад­ра­те минус B M в квад­ра­те .

б)  Най­ди­те длину от­рез­ка АН, если A B=15, A C=13 и A M=2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 37 конец ар­гу­мен­та .

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  Пусть BB1  — вы­со­та тре­уголь­ни­ка ABC. Тогда по­доб­ны пары тре­уголь­ни­ков: AHB1 и ACA1, BHA1 и BCB1. Из этих по­до­бий и тео­ре­мы Пи­фа­го­ра сле­ду­ют две це­поч­ки ра­венств:

AM в квад­ра­те минус BM в квад­ра­те = левая круг­лая скоб­ка AA_1 в квад­ра­те плюс A_1M в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка минус BM в квад­ра­те = AA_1 в квад­ра­те минус левая круг­лая скоб­ка BM минус A_1M пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка BM плюс A_1M пра­вая круг­лая скоб­ка =
= AA_1 в квад­ра­те минус A_1B умно­жить на A_1C = AC в квад­ра­те минус A_1C в квад­ра­те минус A_1B умно­жить на A_1C = AC в квад­ра­те минус A_1C умно­жить на BC,

 

AH умно­жить на AA_1 = AB_1AC = левая круг­лая скоб­ка AC минус CB_1 пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на AC = AC в квад­ра­те минус CB_1 умно­жить на CA = AC в квад­ра­те минус CA_1 умно­жить на CB,

от­ку­да AH умно­жить на AA_1 = AM в квад­ра­те минус BM в квад­ра­те . Что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

б)  По фор­му­ле длины ме­ди­а­ны для тре­уголь­ни­ка ABC по­лу­чим, что

4AM в квад­ра­те = 2AB в квад­ра­те плюс 2AC в квад­ра­те минус BC в квад­ра­те ,

от­ку­да

BC в квад­ра­те = 2 умно­жить на 15 в квад­ра­те плюс 2 умно­жить на 13 в квад­ра­те минус 4 умно­жить на 4 умно­жить на 37 = 196 = 14 в квад­ра­те .

По фор­му­ле Ге­ро­на на­хо­дим:

S_ABC = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 21 левая круг­лая скоб­ка 21 минус 15 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка 21 минус 14 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка 21 минус 13 пра­вая круг­лая скоб­ка конец ар­гу­мен­та = 84.

Сле­до­ва­тель­но, AA_1 умно­жить на BC = 168, то есть AA_1 = 12. Ис­поль­зуя ре­зуль­тат пунк­та a), по­лу­ча­ем, что

AH = левая круг­лая скоб­ка AM в квад­ра­те минус BM в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка : AA_1 = левая круг­лая скоб­ка 148 минус 49 пра­вая круг­лая скоб­ка : 12 = дробь: чис­ли­тель: 33, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби .

Ответ: б) дробь: чис­ли­тель: 33, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а), и обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б)3
По­лу­чен обос­но­ван­ный ответ в пунк­те б)

ИЛИ

име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а), и при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б) по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки

2
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а),

ИЛИ

при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б) по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки,

ИЛИ

обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б) с ис­поль­зо­ва­ни­ем утвер­жде­ния пунк­та а), при этом пункт а) не вы­пол­нен

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, при­ведённых выше0
Мак­си­маль­ный балл3
Источник: А. Ларин. Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 447
Методы геометрии: Свой­ства ме­ди­ан, Тео­ре­ма Пи­фа­го­ра
Классификатор планиметрии: Тре­уголь­ни­ки
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Видеокурс · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025