На сторонах АВ, ВС и АС треугольника АВС отмечены точки C1, A1 и B1 соответственно, причём АC1 : С1B = 21 : 10, ВА1 : A1C = 2 : 3, АВ1 : В1С = 2 : 5. Отрезки BB1 и CC1 пересекаются в точке D.
а) Докажите, что четырёхугольник ADA1B1 — параллелограмм.
б) Найдите CD, если отрезки AD и ВС перпендикулярны, АС = 63, ВС = 25.
Проведём через точку В прямую, параллельную прямой АС. Пусть эта прямая пересекает прямую СС1 в точке Т. Тогда треугольники АСС1 и ВТС1 подобны по двум углам, значит,
Треугольники B1CD и BTD также подобны по двум углам, следовательно,
Таким образом, прямая A1D параллельна прямой АС. Значит, треугольники DBA1 и В1ВС подобны, следовательно,
Значит, в четырёхугольнике ADA1B1 противоположные стороны равны и параллельны, следовательно, он является параллелограммом.
б) Пусть прямые AD и ВС пересекаются в точке Н, тогда
В прямоугольном треугольнике DHA1:
В прямоугольном треугольнике CDH:
Ответ: б) 27.