а)  По тео­ре­ме Ме­не­лая и По­сколь­ку на­хо­дим:

б)  По тео­ре­ме Ме­не­лая Также имеем За­ме­тим, что тре­уголь­ни­ки AB₁B и BCB₁ имеют общую вы­со­ту, сле­до­ва­тель­но: По­это­му Ана­ло­гич­но до­ка­зы­ва­ем, что

Тре­уголь­ни­ки AOC и AC₁O имеют общую вы­со­ту, по­это­му Ана­ло­гич­но до­ка­зы­ва­ем, что Тогда

Ответ:

При­ведём дру­гое ре­ше­ние (Олег Цим­ба­лист).

а)  Из за­дан­но­го по усло­вию со­от­но­ше­ния длин от­рез­ков сле­ду­ет по­до­бие тре­уголь­ни­ков ABC и из ко­то­ро­го, в свою оче­редь, сле­ду­ет па­рал­лель­ность от­рез­ков BC и От­ре­зок рас­се­ка­ет ис­ход­ный тре­уголь­ник ABC на тре­уголь­ник и тра­пе­цию в ко­то­рой точка О  — это точка пе­ре­се­че­ния диа­го­на­лей.

Точка пе­ре­се­че­ния диа­го­на­лей тра­пе­ции лежит на пря­мой, про­хо­дя­щей через точку пе­ре­се­че­ния про­дол­же­ний бо­ко­вых сто­рон тра­пе­ции и се­ре­ди­ны её ос­но­ва­ний, из чего сле­ду­ет ис­ко­мое утвер­жде­ние.

б)  Пусть в тре­уголь­ни­ке ABC длина ос­но­ва­ния BC равна a, а вы­со­та, опу­щен­ная из вер­ши­ны на ос­но­ва­ние BC, равна h. И пусть пло­щадь тре­уголь­ни­ка АВС равна тогда

Вы­со­та от­се­чен­ной тра­пе­ции со­ста­вит Диа­го­на­ли тра­пе­ции от­се­ка­ют от неё по­доб­ные тре­уголь­ни­ки BCO и в ко­то­рых

Вы­со­ты этих тре­уголь­ни­ков тоже со­от­но­сят­ся как 5 : 1, сле­до­ва­тель­но, вы­со­та тре­уголь­ни­ка BCO со­ста­вит 5/⁠6 от вы­со­ты тра­пе­ции По­это­му пло­щадь а пло­щадь тре­уголь­ни­ка со­ста­вит его 25-⁠ю часть, то есть На­ко­нец,

Итак, ис­ко­мое со­от­но­ше­ние равно 1 : 15.