Биссектриса прямого угла прямоугольного треугольника АВС вторично пересекает окружность, описанную около этого треугольника, в точке L. Прямая, проходящая через точку L и середину N гипотенузы АВ, пересекает катет ВС в точке М.
а) Докажите, 
б) Найдите площадь треугольника АВС, если AB = 20 и 
а) Заметим, что точка N — центр описанной окружности вокруг треугольника ABC. Пусть 
Треугольник ANC равнобедренный, поэтому 
и 
Треугольник CLN также равнобедренный, поэтому
Вычислим 
как внешний угол в треугольнике LMC:
Что и требовалось доказать.
б) В треугольнике CMN находим: 
тогда
По теореме синусов получаем:
Пусть 
тогда
Очевидно, что 
поэтому
Таким образом,
Ответ: б) 80.
Приведем решение Данилы Карпова.
а) Точка N — середина гипотенузы прямоугольного треугольника, следовательно, она является центром описанной окружности. Отрезок CL — биссектриса прямого угла, тогда 
поэтому дуга AL равна 90°. На эту дугу опирается центральный угол ANL, тогда 
Углы ANL и MNB равны как вертикальные, таким образом, 
тогда треугольники ABC и MNB подобны по двум углам. Следовательно, 
что и требовалось доказать.
б) Как доказано в пункте а), треугольники ABC и MNB подобны, тогда
Учитывая, что MB > 0, получим 
тогда 
По теореме Пифагора
тогда
