Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 17 № 562189
i

На сто­ро­нах AC, AB и BC пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка ABC с пря­мым углом C во внеш­нюю сто­ро­ну по­стро­е­ны рав­но­бед­рен­ные пря­мо­уголь­ные тре­уголь­ни­ки AKC и ALB и BMC с пря­мы­ми уг­ла­ми K, L и M со­от­вет­ствен­но.

а)  До­ка­жи­те, что LC  — вы­со­та тре­уголь­ни­ка KLM.

б)  Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка KLM, если LC  =  10.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  За­ме­тим, что ACBL впи­сан в окруж­ность с диа­мет­ром AB. Зна­чит, \angle ACL=\angle ABL как впи­сан­ные, сле­до­ва­тель­но, \angle ACL=45 гра­ду­сов , от­ку­да \angle KCL=45 гра­ду­сов плюс 45 гра­ду­сов =90 гра­ду­сов . Что тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

б)  По тео­ре­ме си­ну­сов для тре­уголь­ни­ка ACL на­хо­дим:

CL=2R умно­жить на синус \widehatCAL =AB умно­жить на синус левая круг­лая скоб­ка \widehatCAB плюс 45 гра­ду­сов пра­вая круг­лая скоб­ка =
= дробь: чис­ли­тель: ко­рень из 2 , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на AB умно­жить на синус \widehatCAB плюс дробь: чис­ли­тель: ко­рень из 2 , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на AB умно­жить на ко­си­нус \widehatCAB= дробь: чис­ли­тель: ко­рень из 2 , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на BC плюс дробь: чис­ли­тель: ко­рень из 2 , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на AC=CM плюс CK=MK.

От­сю­да S_KLM= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на 10 умно­жить на 10=50.

 

Ответ: 50.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та a) и обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б)3
По­лу­чен обос­но­ван­ный ответ в пунк­те б)

ИЛИ

име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а) и при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б) по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки

2
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а)

ИЛИ

при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б) по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки,

ИЛИ

обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б) с ис­поль­зо­ва­ни­ем утвер­жде­ния пунк­та а), при этом пункт а) не вы­пол­нен

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, при­ведённых выше0
Мак­си­маль­ный балл3
Источник: Из­бран­ные за­да­ния по ма­те­ма­ти­ке из по­след­них сбор­ни­ков ФИПИ
Методы геометрии: Тео­ре­ма си­ну­сов
Классификатор планиметрии: Тре­уголь­ни­ки
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Видеокурс · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025