СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
≡ математика
сайты - меню - вход - новости


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 16 № 505501

В тре­уголь­ни­ке АВС про­ве­де­на бис­сек­три­са АМ. Пря­мая, про­хо­дя­щая через вер­ши­ну В пер­пен­ди­ку­ляр­но АМ, пе­ре­се­ка­ет сто­ро­ну АС в точке N. АВ = 6; ВС = 5; АС = 9.

а) до­ка­жи­те, что бис­сек­три­са угла С делит от­ре­зок МN по­по­лам

б) пусть Р — точка пе­ре­се­че­ния бис­сек­трис тре­уголь­ни­ка АВС. Най­ди­те от­но­ше­ние АР : РN.

Ре­ше­ние.

а) Обо­зна­чим K точку пе­ре­се­че­ния от­рез­ков AM и BN. Тре­уголь­ник ABN рав­но­бед­рен­ный, так как в нем AK яв­ля­ет­ся бис­сек­три­сой и вы­со­той. Сле­до­ва­тель­но, AK яв­ля­ет­ся и ме­ди­а­ной, то есть K — се­ре­ди­на BN. По­лу­ча­ем, что AN = AB = 6, от­ку­да NC = AC − AN = 3.

Рас­смот­рим тре­уголь­ник ABC, бис­сек­три­са делит про­ти­во­по­лож­ную сто­ро­ну на от­рез­ки, про­пор­ци­о­наль­ные при­ле­жа­щим сто­ро­нам: BM : MC = AB : AC, учи­ты­вая, что длина BC равна 5, по­лу­ча­ем: BM = 2; MC = 3.

В тре­уголь­ни­ке MNC сто­ро­ны NC и MC равны, сле­до­ва­тель­но, тре­уголь­ник MNC — рав­но­бед­рен­ный, с ос­но­ва­ни­ем MN. Зна­чит, бис­сек­три­са угла C также яв­ля­ет­ся ме­ди­а­ной и вы­со­той. Таким об­ра­зом, по­лу­ча­ем, что бис­сек­три­са угла С делит от­ре­зок MN по­по­лам.

б) Рас­смот­рим тре­уголь­ник PMN: от­ре­зок PO пер­пен­ди­ку­ля­рен пря­мой MN и делит её по­по­лам, сле­до­ва­тель­но, тре­уголь­ник PMN — рав­но­бед­рен­ный с ос­но­ва­ни­ем MN. Зна­чит, PM = PN и от­но­ше­ние AP : PN = AP : PM.

В тре­уголь­ни­ке AMC от­ре­зок CP — бис­сек­три­са, по­это­му AP : PM = AC : MC = 3 : 1.

 

Ответ: 3 : 1.

Источник: ЕГЭ по ма­те­ма­ти­ке 19.06.2014. Основная волна, ре­зерв­ный день. Запад. Ва­ри­ант 1.
Методы геометрии: Свойства биссектрис
Классификатор планиметрии: Многоугольники и их свойства