а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Най­ди­те все корни урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

В ос­но­ва­нии пря­мой приз­мы ABCA₁B₁C₁ лежит рав­но­бед­рен­ный тре­уголь­ник ABC с ос­но­ва­ни­ем AB. Точка P делит ребро AB в от­но­ше­нии AP : PB  =  1 : 3, а точка Q се­ре­ди­на ребра A₁C₁. Через се­ре­ди­ну M ребра BC про­ве­ли плос­кость α, пер­пен­ди­ку­ляр­ную от­рез­ку PQ.

а)  До­ка­жи­те, что плос­кость α делит ребро AC по­по­лам.

б)  Най­ди­те от­но­ше­ние, в ко­то­ром плос­кость α делит от­ре­зок A₁C₁, счи­тая от точки A₁, если из­вест­но, что AB  =  AA₁, AB : BC  =  2 : 7.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство:

В июле 2025 года пла­ни­ру­ет­ся взять кре­дит на де­сять лет в раз­ме­ре 900 тыс. руб­лей. Усло­вия его воз­вра­та та­ко­вы:

  —  каж­дый ян­варь долг будет воз­рас­тать на 20% по срав­не­нию с кон­цом преды­ду­ще­го года;

  —  с фев­ра­ля по июнь каж­до­го года не­об­хо­ди­мо опла­тить одним пла­те­жом часть долга;

  —  в июле 2026, 2027, 2028, 2029 и 2030 годов долг дол­жен быть на какую‐то одну и ту же ве­ли­чи­ну мень­ше долга на июль преды­ду­ще­го года;

  —  в июле 2031, 2032, 2033, 2034 и 2035 годов долг дол­жен быть на дру­гую одну и ту же ве­ли­чи­ну мень­ше долга на июль преды­ду­ще­го года;

  —  к июлю 2035 года долг дол­жен быть вы­пла­чен пол­но­стью.

Из­вест­но, что сумма всех пла­те­жей после пол­но­го по­га­ше­ния кре­ди­та будет равна 1540 тыс. руб­лей. Сколь­ко руб­лей со­ста­вит пла­теж в 2035 году.

Дан рав­но­сто­рон­ний тре­уголь­ник АВС. На сто­ро­не АС вы­бра­на точка М, се­ре­дин­ный пер­пен­ди­ку­ляр к от­рез­ку ВМ пе­ре­се­ка­ет сто­ро­ну АВ в точке E, а сто­ро­ну ВС в точке K.

а)  До­ка­жи­те, что угол АЕМ равен углу СМK.

б)  Най­ди­те от­но­ше­ние пло­ща­дей тре­уголь­ни­ков АЕМ и СМK, если AM : CM  =  1 : 4.

Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра a, при каж­дом из ко­то­рых урав­не­ние

имеет не менее двух ре­ше­ний на от­рез­ке [1,5; 2,5].

В порту име­ют­ся толь­ко за­пол­нен­ные кон­тей­не­ры, масса каж­до­го из ко­то­рых равна 20 тонн или 40 тонн. В не­ко­то­рых кон­тей­не­рах на­хо­дит­ся са­хар­ный песок. Ко­ли­че­ство кон­тей­не­ров с са­хар­ным пес­ком со­став­ля­ет 60% от об­ще­го числа кон­тей­не­ров.

а)  Может ли масса кон­тей­не­ров с са­хар­ным пес­ком со­став­лять 50% от общей массы?

б)  Может ли масса кон­тей­не­ров с са­хар­ным пес­ком со­став­лять 40% от общей массы?

в)  Какую наи­боль­шую долю в про­цен­тах может со­став­лять масса кон­тей­не­ров с са­хар­ным пес­ком от общей массы?