Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 16 № 630198

В треугольнике ABC точки M и N — середины сторон AB и BC соответственно. Известно, что около четырехугольника AMNC можно описать окружность.

а) Докажите, что треугольник ABC — равнобедренный.

б) На стороне отмечена точка F, такая что \angle AFB=135 градусов. Отрезок BF пересекает отрезок MN в точке E. Найдите радиус окружности, описанной около четырёхугольника AMNC, если \angle ABC =120 градусов и EF=6 корень из 2 .

Спрятать решение

Решение.

a) Отрезок MN — средняя линия треугольника ABC, значит, прямые AC и MN параллельны, а четырёхугольник AMNC является трапецией (M N меньше A C). Поскольку окружность можно описать только около равнобедренной трапеции, A M=C N, то есть A B=B C, а значит, треугольник ABC равнобедренный.

б) Пусть точка O — центр окружности, описанной около трапеции AMNC, точка H — основание высоты BH треугольника ABC, а точка D — середина отрезка NC. Угол EFC равен 45°, значит, расстояние между прямыми AC и MN равно E F умножить на синус 45 в степени (\circ) =6. Поскольку отрезок MN — средняя линия треугольника ABC, он делит высоту BH пополам, значит, B H=12. Треугольник ABC равнобедренный, поэтому

\angle B C A=\angle B A C= дробь: числитель: 180 в степени (\circ) минус \angle A B C, знаменатель: 2 конец дроби =30 в степени (\circ) .

В прямоугольном треугольнике BCH угол C равен 30°, значит,

 B C=2 B H=24 ; B N= дробь: числитель: B C, знаменатель: 2 конец дроби =12, N D= дробь: числитель: B C, знаменатель: 4 конец дроби =6, B D=B N плюс N D=18.

Центр описанной около многоугольника окружности лежит на пересечении серединных перпендикуляров к каждой из его сторон, следовательно, \angle B D O=90 в степени (\circ) , точка H лежит на прямой BO, а NO — радиус окружности, описанной около четырёхугольника AMNC.

В прямоугольном треугольнике BDO угол OBD равен 60°, откуда находим

 O D=B D умножить на тангенс 60 в степени (\circ) =18 корень из (3) .

Из прямоугольного треугольника NDO находим

 O N= корень из (O D в степени (2) плюс N D в квадрате ) =12 корень из (7) .

Ответ: б) 12 корень из 7 .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Содержание критерияБаллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта а и обоснованно получен верный ответ в пункте б3
Обоснованно получен верный ответ в пункте б,

ИЛИ

имеется верное доказательство утверждения пункта а и при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки

2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а,

ИЛИ

при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,

ИЛИ

обоснованно получен верный ответ в пункте б с использованием утверждения пункта а, при этом пункт а не выполнен

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше3
Максимальный балл3
Источник: ЕГЭ по математике 02.06.2022. Основная волна. Санкт-Петербург. Вариант 991, Задания 16 ЕГЭ–2022