Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 17 № 549034
i

В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке АВС точка M лежит на ка­те­те АС, а точка N лежит на про­дол­же­нии ка­те­та ВС за точку С, при­чем СМ  =  ВС и CN = AC.

а)  От­рез­ки СH и CF  — вы­со­ты тре­уголь­ни­ков АСВ и NCM со­от­вет­ствен­но. До­ка­жи­те, что пря­мые СН и CF пер­пен­ди­ку­ляр­ны.

б)  Пря­мые ВМ и AN пе­ре­се­ка­ют­ся в точке L. Най­ди­те LM если ВС  =  4, а АС  =  8.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  Пря­мо­уголь­ные тре­уголь­ни­ки ABC и NMC равны по двум ка­те­там. Пусть угол BAC равен α, тогда по свой­ству вы­со­ты в пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке:

\angle ACH = 90 гра­ду­сов минус альфа , \angle FCM = \angle CNM= \angle CAB = альфа ,

от­ку­да

\angle FCH = \angle FCM плюс \angle ACH = альфа плюс левая круг­лая скоб­ка 90 гра­ду­сов минус альфа пра­вая круг­лая скоб­ка = 90 гра­ду­сов.

б)  По усло­вию CN  =  AC и CM  =  BC, по­это­му

\angle LAM = \angle NAC = 45 гра­ду­сов, \angle AML=\angle CMB = 45 гра­ду­сов,

от­ку­да \angle ALM=90 гра­ду­сов, то есть ALM  — рав­но­бед­рен­ный пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник. Зна­чит,

LM = дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби AM = 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та .

Ответ: б) 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та a) и обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б)3
По­лу­чен обос­но­ван­ный ответ в пунк­те б)

ИЛИ

име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а) и при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б) по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки

2
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а)

ИЛИ

при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б) по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки,

ИЛИ

обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б) с ис­поль­зо­ва­ни­ем утвер­жде­ния пунк­та а), при этом пункт а) не вы­пол­нен

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, при­ведённых выше0
Мак­си­маль­ный балл3
Источники:
Методы геометрии: Свой­ства высот
Классификатор планиметрии: Мно­го­уголь­ни­ки, Мно­го­уголь­ни­ки и их свой­ства, Тре­уголь­ни­ки
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Видеокурс · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025