Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 16 № 549034

В прямоугольном треугольнике АВС точка M лежит на катете АС, а точка N лежит на продолжении катета ВС за точку С причем СМ = ВС и CN = AC.

а)  Отрезки СH и CF  — высоты треугольников АСВ и NCM соответственно. Докажите, что прямые СН и CF перпендикулярны.

б)  Прямые ВМ и AN пересекаются в точке L. Найдите LM если ВС = 4, а АС =  8.

Спрятать решение

Решение.

а)  Прямоугольные треугольники ABC и NMC равны по двум катетам. Пусть угол BAC равен α, тогда по свойству высоты в прямоугольном треугольнике:

\angle ACH = 90 градусов минус альфа , \angle FCM = \angle CNM= \angle CAB = альфа ,

откуда

\angle FCH = \angle FCM плюс \angle ACH = альфа плюс левая круглая скобка 90 градусов минус альфа правая круглая скобка = 90 градусов.

б)  По условию CN = AC и CM = BC, поэтому

\angle LAM = \angle NAC = 45 градусов, \angle AML=\angle CMB = 45 градусов,

откуда \angle ALM=90 градусов, то есть ALM  — равнобедренный прямоугольный треугольник. Значит,

LM = дробь: числитель: корень из 2, знаменатель: 2 конец дроби AM = 2 корень из 2.

Ответ: б) 2 корень из 2.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)3
Получен обоснованный ответ в пункте б)

ИЛИ

имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки

2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а)

ИЛИ

при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,

ИЛИ

обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше0
Максимальный балл3
Источник: Задания 16 ЕГЭ–2020, ЕГЭ по математике. Вариант 313
Методы геометрии: Свойства высот