На катетах AC и BC прямоугольного треугольника ABC вне треугольника построены квадраты ACDE и BFKC. Точка M — середина гипотенузы AB, H — точка пересечения прямых
а) Докажите, что CM
DK.
б) Найдите MH, если известно, что катеты треугольника ABC равны 130 и 312.
а) Треугольник ABC прямоугольный, поэтому AK ⊥ DB. M — середина AB, поэтому CM — медиана прямоугольного треугольника, откуда CM = MB = AM. Тогда ∠MBC = ∠MCB = ∠DCH (поскольку ∠DCH и ∠MCB вертикальные).
AK ⊥ DB, DC = AC и KC = CB, поэтому треугольники DCK и ACB равны. Значит, ∠CDK = ∠CAB. ∠CDK = ∠CAB и ∠DCH = ∠CBA, поэтому треугольники DCH и ABC подобны по двум углам. Значит, DCH прямоугольный и CH ⊥ DK.
б) По теореме Пифагора AB = 338. Тогда MC = 169. Имеем 
то есть DH = 50, тогда HK = 288. Значит, 
Тогда MH = 120 + 169 = 289.
Ответ: 289.