Две окруж­но­сти ка­са­ют­ся внут­рен­ним об­ра­зом в точке С. Вер­ши­ны A и B рав­но­бед­рен­но­го пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка ABC c пря­мым углом C лежат на боль­шей и мень­шей окруж­но­стях со­от­вет­ствен­но. Пря­мая  AC вто­рич­но пе­ре­се­ка­ет мень­шую окруж­ность в точке D. Пря­мая BC вто­рич­но пе­ре­се­ка­ет боль­шую окруж­ность в точке E.

а)  До­ка­жи­те, что AE па­рал­лель­но BD.

б)  Най­ди­те AC, если ра­ди­у­сы окруж­но­стей равны 8 и 15.

Дан пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник ABC. На ка­те­те AC от­ме­че­на точка M, а на про­дол­же­нии ка­те­та BC за точку C  — точка  N так, что CM  =  CB и CA  =  CN.

а)  Пусть CH и CF  — вы­со­ты тре­уголь­ни­ков ABC и NMC со­от­вет­ствен­но. До­ка­жи­те, что CF и CH пер­пен­ди­ку­ляр­ны.

б)  Пусть L  — это точка пе­ре­се­че­ния BM и AN, BC  =  2, AC  =  5. Най­ди­те ML.

В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке АВС точка M лежит на ка­те­те АС, а точка N лежит на про­дол­же­нии ка­те­та ВС за точку С, при­чем СМ  =  ВС и CN = AC.

а)  От­рез­ки СH и CF  — вы­со­ты тре­уголь­ни­ков АСВ и NCM со­от­вет­ствен­но. До­ка­жи­те, что пря­мые СН и CF пер­пен­ди­ку­ляр­ны.

б)  Пря­мые ВМ и AN пе­ре­се­ка­ют­ся в точке L. Най­ди­те LM если ВС  =  4, а АС  =  8.

На сто­ро­нах AB, BC и AC тре­уголь­ни­ка ABC от­ме­че­ны точки C₁, A₁ и B₁ со­от­вет­ствен­но, причём AC₁ : C₁B  =  8 : 3, BA₁ : A₁C  =  1 : 2, CB₁ : B₁A  =  3 : 1. От­рез­ки BB₁ и CC₁ пе­ре­се­ка­ют­ся в точке D.

а)  До­ка­жи­те, что ADA₁B₁  — па­рал­ле­ло­грамм.

б)  Най­ди­те CD, если от­рез­ки AD и BC пер­пен­ди­ку­ляр­ны, AC  =  28, BC  =  18.

На сто­ро­нах АВ, ВС и АС тре­уголь­ни­ка АВС от­ме­че­ны точки C₁, A₁ и B₁ со­от­вет­ствен­но, причём АC₁ : С₁B  =  21 : 10, ВА₁ : A₁C  =  2 : 3, АВ₁ : В₁С  =  2 : 5. От­рез­ки BB₁ и CC₁ пе­ре­се­ка­ют­ся в точке D.

а)  До­ка­жи­те, что четырёхуголь­ник ADA₁B₁  — па­рал­ле­ло­грамм.

б)  Най­ди­те CD, если от­рез­ки AD и ВС пер­пен­ди­ку­ляр­ны, АС = 63, ВС  =  25.

В ост­ро­уголь­ном тре­уголь­ни­ке ABC про­ве­ли вы­со­ту CC₁ и ме­ди­а­ну AA₁. Ока­за­лось, что точки A, A₁, C, C₁ лежат на одной окруж­но­сти.

а)  До­ка­жи­те, что тре­уголь­ник ABC рав­но­бед­рен­ный.

б)  Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка ABC, если AA₁ : CC₁  =  5 : 4 и A₁C₁  =  4.

В тре­уголь­ни­ке ABC про­ве­ли вы­со­ту CC₁ и ме­ди­а­ну AA₁. Ока­за­лось, что точки A, A₁, C, C₁ лежат на одной окруж­но­сти.

а)  До­ка­жи­те, что тре­уголь­ник ABC рав­но­бед­рен­ный.

б)  Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка ABC, если AA₁ : CC₁  =  3 : 2 и A₁C₁  =  2.

В ост­ро­уголь­ном тре­уголь­ни­ке ABC про­ве­ли вы­со­ту CC₁ и ме­ди­а­ну AA₁. Ока­за­лось, что точки A, A₁, C, C₁ лежат на одной окруж­но­сти.

а)  До­ка­жи­те, что тре­уголь­ник ABC рав­но­бед­рен­ный.

б)  Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка ABC, если AA₁ : CC₁  =  4 : 3 и A₁C₁  =  6.

В тре­уголь­ни­ке ABC угол A равен 120°. Пря­мые, со­дер­жа­щие вы­со­ты BM и CN тре­уголь­ни­ка ABC, пе­ре­се­ка­ют­ся в точке H. Точка O  — центр окруж­но­сти, опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка ABC.

а)  До­ка­жи­те, что AH  =  AO.

б)  Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка AHO, если

Бис­сек­три­са пря­мо­го угла пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка АВС вто­рич­но пе­ре­се­ка­ет окруж­ность, опи­сан­ную около этого тре­уголь­ни­ка, в точке L. Пря­мая, про­хо­дя­щая через точку L и се­ре­ди­ну N ги­по­те­ну­зы АВ, пе­ре­се­ка­ет катет ВС в точке М.

а)  До­ка­жи­те,

б)  Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка АВС, если AB  =  20 и

На бо­ко­вой сто­ро­не CD тра­пе­ции ABCD от­ме­че­на точка M, ко­то­рая яв­ля­ет­ся се­ре­ди­ной этой сто­ро­ны.

а)  До­ка­жи­те, что

б)  На сто­ро­не CD от­ме­че­на точка K, такая, что при­чем AD  =  2BC. Рас­сто­я­ние от точки D до пря­мой AB равно 10. Най­ди­те рас­сто­я­ние от точки K до сто­ро­ны AB.

На бо­ко­вой сто­ро­не CD тра­пе­ции ABCD от­ме­че­на точка M, ко­то­рая яв­ля­ет­ся се­ре­ди­ной этой сто­ро­ны.

а)  До­ка­жи­те, что

б)  На сто­ро­не CD от­ме­че­на точка K, такая, что при­чем AD  =  2BC. Рас­сто­я­ние от точки D до пря­мой AB равно 15. Най­ди­те рас­сто­я­ние от точки K до сто­ро­ны AB.

Пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник ABC с пря­мым углом C впи­сан в окруж­ность. Бис­сек­три­са угла A пе­ре­се­ка­ет опи­сан­ную окруж­ность в точке A₁, бис­сек­три­са угла  B пе­ре­се­ка­ет опи­сан­ную окруж­ность в точке B₁, бис­сек­три­са угла  C пе­ре­се­ка­ет опи­сан­ную окруж­ность в точке C₁.

a) До­ка­жи­те, что угол A₁BB₁  =  45°.

б)  Из­вест­но, что Най­ди­те B₁C₁.

К окруж­но­сти с диа­мет­ром AB  =  10 про­ве­де­на ка­са­тель­ная BC так что Пря­мая AC вто­рич­но пе­ре­се­ка­ет окруж­ность в точке D. Точка E диа­мет­раль­но про­ти­во­по­лож­на точке D. Пря­мые ED и BC пе­ре­се­ка­ют­ся в точке F.

а)  До­ка­жи­те, что

б)  Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка FBE.