а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Ука­жи­те корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

Точка K лежит на сто­ро­не AB ос­но­ва­ния ABCD пра­виль­ной че­ты­рех­уголь­ной пи­ра­ми­ды SABCD, все ребра ко­то­рой равны. Плос­кость α про­хо­дит через точку K па­рал­лель­но плос­ко­сти ASD. Се­че­ние пи­ра­ми­ды плос­ко­стью α   — че­ты­рех­уголь­ник, в ко­то­рый можно впи­сать окруж­ность.

а)  До­ка­жи­те, что BK  =  2AK.

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние от вер­ши­ны S до плос­ко­сти α, если все рёбра пи­ра­ми­ды равны 1.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство

В тре­уголь­ни­ке ABC про­ве­де­ны две вы­со­ты BM и CN, при­чем AM : CM  =  2 : 3 и

а)  До­ка­жи­те, что угол ABC тупой.

б)  Най­ди­те от­но­ше­ние пло­ща­дей тре­уголь­ни­ков BMN и ABC.

Иван по­ло­жил в банк не­ко­то­рую сумму денег на 4 года. Перед на­ча­лом каж­до­го года он вы­би­ра­ет одну из двух схем на­чис­ле­ния при­бы­ли в на­сту­па­ю­щем году: 1) к сумме на счёте при­бав­ля­ет­ся 10% от на­хо­дя­щей­ся на нём суммы; 2) к сумме на счёте при­бав­ля­ет­ся 5% от на­хо­дя­щей­ся на нём суммы и 50 тысяч руб­лей. Из­вест­но, что по про­ше­ствии 4 лет Иван мак­си­маль­но может по­лу­чить 417 967 руб­лей при­бы­ли, если будет оп­ти­маль­но вы­би­рать схему на­чис­ле­ния при­бы­ли. Сколь­ко руб­лей по­ло­жил на счёт Иван?

Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра а, при каж­дом из ко­то­рых мно­же­ством ре­ше­ний си­сте­мы не­ра­венств

яв­ля­ет­ся от­ре­зок чис­ло­вой пря­мой, длина ко­то­ро­го равна 15.

По­сле­до­ва­тель­ность a₁, a₂, ..., a_n, ... со­сто­ит из на­ту­раль­ных чисел, при­чем a₁ > 4 и a_{n + 1}  =  a_n + 4n² для n ≥ 1.

а)  Могут ли a₂ и a₃ быть про­сты­ми чис­ла­ми?

б)  Может ли сумма двух под­ряд иду­щих чле­нов этой по­сле­до­ва­тель­но­сти де­лить­ся на 4 на­це­ло, если оба эти члена  — про­стые числа?

в)  Какое наи­боль­шее ко­ли­че­ство под­ряд иду­щих чле­нов этой по­сле­до­ва­тель­но­сти (не обя­за­тель­но с пер­во­го) могут быть про­сты­ми чис­ла­ми?