Дан треугольник ABC со сторонами AB = 4, BC = 5 и AC = 6.
а) Докажите, что прямая, проходящая через точку пересечения медиан и центр вписанной окружности, параллельна стороне BC.
б) Найдите длину биссектрисы треугольника ABC, проведенной из вершины A.
а) Пусть в треугольнике ABC биссектриса угла А пересекает сторону BC в точке H, а биссектрису угла B в точке пересекаются в точке F. По свойству биссектрисы 
Аналогично, по свойству биссектрисы, только для треугольника ABH получаем:
Пусть теперь AD — медиана треугольника ABC, а G — точка пересечения медиан. Известно, что 
Тогда треугольники AFG и AHD подобны по двум сторонам и углу между ними. Значит, прямые FG и HD параллельны, то есть прямые FG и BC параллельны. Что и требовалось доказать.
б) Запишем теорему косинусов для треугольников ABH и AHC, приняв угол AHB за α:
Отсюда
Упрощая, получаем:
Ответ: 