Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 17 № 648014
i

В ост­ро­уголь­ном тре­уголь­ни­ке ABC A B боль­ше A C, угол A равен 60°. Точка D  — точка пе­ре­се­че­ния бис­сек­трис, точка Н  — точка пе­ре­се­че­ния высот.

а)  До­ка­жи­те, что точки B, C, H и D лежат на одной окруж­но­сти.

б)  Най­ди­те угол ABC, если \angle A H D = 51 гра­ду­сов .

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  Пусть BB1 и CC1  — вы­со­ты тре­уголь­ни­ка, тогда

\angle BHC = \angle C_1 H B_1 = 180 гра­ду­сов минус \angle A = 120 гра­ду­сов ,

\angle BDC = 180 гра­ду­сов минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби \angle B минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби \angle C = 180 гра­ду­сов минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби левая круг­лая скоб­ка 180 гра­ду­сов минус \angle A пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби \angle A плюс 90 гра­ду­сов = 120 гра­ду­сов .

Точки H и D лежат в одной по­лу­плос­ко­сти от­но­си­тель­но пря­мой BC и \angle BHC = \angle BDC, сле­до­ва­тель­но, точки B, H, D, C лежат на одной окруж­но­сти.

б)  Пусть \angle ABC = x, тогда \angle ACB = 120 гра­ду­сов минус x. Зна­чит,

\angle AHB = 180 гра­ду­сов минус левая круг­лая скоб­ка 120 гра­ду­сов минус x пра­вая круг­лая скоб­ка = x плюс 60 гра­ду­сов,

\angle BHD = \angle AHB минус \angle AHD= x плюс 60 гра­ду­сов минус 51 гра­ду­сов= 9 гра­ду­сов плюс x.

Тогда

\angle BCD = \angle BHD =9 гра­ду­сов плюс x.

Таким об­ра­зом,

\angle ACB = 2 левая круг­лая скоб­ка 9 гра­ду­сов плюс x пра­вая круг­лая скоб­ка = 120 гра­ду­сов минус x.

Сле­до­ва­тель­но, 3 x = 120 гра­ду­сов минус 18 гра­ду­сов , от­ку­да x = 34 гра­ду­сов .

 

Ответ: б)  34°.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а), и обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б)3
По­лу­чен обос­но­ван­ный ответ в пунк­те б)

ИЛИ

име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а), и при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б) по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки

2
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а),

ИЛИ

при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б) по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки,

ИЛИ

обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б) с ис­поль­зо­ва­ни­ем утвер­жде­ния пунк­та а), при этом пункт а) не вы­пол­нен

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, при­ведённых выше0
Мак­си­маль­ный балл3
Источник: А. Ларин. Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 442
Классификатор планиметрии: Тре­уголь­ни­ки
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Видеокурс · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025