Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Дан равносторонний треугольник АВС. На стороне АС выбрана точка М, серединный перпендикуляр к отрезку ВМ пересекает сторону АВ в точке E, а сторону ВС в точке K.
а) Докажите, что угол АЕМ равен углу СМK.
б) Найдите отношение площадей треугольников АЕМ и СМK, если AM : CM = 1 : 4.
Решение.
Спрятать критерии
а) Пусть 
тогда 
Треугольники BEK и MEK равны, поскольку они симметричны относительно EK. Тогда 
и
б) Пусть AM = x, CM = 4x, AE = y, тогда 
Пусть также CK = t, тогда 
Из подобия треугольников AME и CKM находим:
тогда
откуда
Таким образом, 
следовательно, 
Ответ: 4 : 9.
Классификатор планиметрии: Равносторонний треугольник