Дана тра­пе­ция ABCD с боль­шим ос­но­ва­ни­ем AD, впи­сан­ная в окруж­ность. Про­дол­же­ние вы­со­ты тра­пе­ции BH пе­ре­се­ка­ет окруж­ность в точке K.

а)  До­ка­жи­те, что от­рез­ки AC и AK пер­пен­ди­ку­ляр­ны.

б)  Най­ди­те AD, если ра­ди­ус опи­сан­ной окруж­но­сти равен 6, угол BAC со­став­ля­ет 30°, от­но­ше­ние пло­ща­дей BCNH к NKH равно 35, где N  — точка пе­ре­се­че­ния от­рез­ков AD и CK.

Тра­пе­ция ABCD с боль­шим ос­но­ва­ни­ем AD и вы­со­той BH впи­са­на в окруж­ность. Пря­мая BH вто­рич­но пе­ре­се­ка­ет эту окруж­ность в точке K.

а)  До­ка­жи­те, что пря­мые AC и AK пер­пен­ди­ку­ляр­ны.

б)  Пря­мые CK и AD пе­ре­се­ка­ют­ся в точке N. Най­ди­те AD, если ра­ди­ус окруж­но­сти равен 12, а пло­щадь четырёхуголь­ни­ка BCNH в 8 раз боль­ше пло­ща­ди тре­уголь­ни­ка KNH.

Дан па­рал­ле­ло­грамм ABCD с ост­рым углом A. На про­дол­же­нии сто­ро­ны AD за точку D взята точка N такая, что CN  =  CD, а на про­дол­же­нии сто­ро­ны CD за точку D взята такая точка M, что AD  =  AM.

а)  До­ка­жи­те, что BM  =  BN.

б)  Най­ди­те MN, если AC  =  4,

Дан па­рал­ле­ло­грамм ABCD с ост­рым углом A. На про­дол­же­нии сто­ро­ны AD за точку D взята точка N такая, что CN  =  CD, а на про­дол­же­нии сто­ро­ны CD за точку D взята такая точка M, что AD  =  AM.

а)  До­ка­жи­те, что BM  =  BN.

б)  Най­ди­те MN, если AC  =  7,

От­ре­зок CH  — вы­со­та пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка ABC с пря­мым углом C. На ка­те­тах AC и BC вы­бра­ны точки M и N со­от­вет­ствен­но такие, что

a) До­ка­жи­те, что тре­уголь­ник MNH по­до­бен тре­уголь­ни­ку ABC.

б)  Най­ди­те CN, если BC  =  3, AC  =  5, CM  =  2.

От­ре­зок CH  — вы­со­та пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка ABC с пря­мым углом C. На ка­те­тах AC и BC вы­бра­ны точки M и N со­от­вет­ствен­но такие, что

a) До­ка­жи­те, что тре­уголь­ник MNH по­до­бен тре­уголь­ни­ку ABC.

б)  Най­ди­те CN, если BC  =  2, AC  =  4, CM  =  1.

Дан па­рал­ле­ло­грамм ABCD с ост­рым углом А. На про­дол­же­нии сто­ро­ны AD за точку D взята точка M, такая, что CM  =  СD, а на про­дол­же­нии сто­ро­ны CD за точку D взята такая точка N, что AD  =  AN.

а)  До­ка­жи­те, что BM  =  BN.

б)  Най­ди­те MN, если AC  =  4,

Тре­уголь­ник ABC пря­мо­уголь­ный с пря­мым углом C. Про­ве­де­на вы­со­та CH. На сто­ро­нах AC и BC со­от­вет­ствен­но от­ме­че­ны точки M и N так, что угол MHN пря­мой.

а)  До­ка­жи­те, что тре­уголь­ни­ки MNH и ABC по­доб­ны.

б)  Най­ди­те BN, если

Тре­уголь­ник ABC пря­мо­уголь­ный с пря­мым углом C. Про­ве­де­на вы­со­та CH. На сто­ро­нах AC и BC со­от­вет­ствен­но от­ме­че­ны точки M и N так, что угол MHN пря­мой.

а)  До­ка­жи­те, что тре­уголь­ни­ки MNH и ABC по­доб­ны.

б)  Най­ди­те BN, если

Дан па­рал­ле­ло­грамм ABCD с ост­рым углом А. На про­дол­же­нии сто­ро­ны AD за точку D взята точка N, такая, что CN  =  СD, а на про­дол­же­нии сто­ро­ны CD за точку D взята такая точка M, что AD  =  AM.

а)  До­ка­жи­те, что BM  =  BN.

б)  Най­ди­те MN, если AC  =  7,

Дана тра­пе­ция ABCD, где AB  =  BC  =  CD, точка E лежит на плос­ко­сти так, что BE ⊥ AD и CE ⊥ BD.

а)  До­ка­жи­те, что углы AEB и BDA равны.

б)  Най­ди­те пло­щадь тра­пе­ции, если AB = 50, а

Дана тра­пе­ция ABCD, где AB = BC = CD, точка E лежит на плос­ко­сти так, что BE ⊥ AD и CE ⊥ BD

а)  До­ка­зать, что ∠AEB = ∠BDA

б)  Найти пло­щадь ABCD, если AB = 72,

От­ре­зок CH  — вы­со­та пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка ABC с пря­мым углом C. На ка­те­тах AC и BC вы­бра­ны точки M и N со­от­вет­ствен­но такие, что

a) До­ка­жи­те, что тре­уголь­ник MNH по­до­бен тре­уголь­ни­ку ABC.

б)  Най­ди­те CN, если BC  =  3, AC  =  5, CM  =  2.

Окруж­ность с цен­тром О, по­стро­ен­ная на ка­те­те AC пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка ABC как на диа­мет­ре, пе­ре­се­ка­ет ги­по­те­ну­зу AB в точ­ках A и D. Ка­са­тель­ная, про­ве­ден­ная к этой окруж­но­сти в точке D, пе­ре­се­ка­ет катет BC в точке M.

а)  До­ка­жи­те, что BM  =  CM.

б)  Пря­мая DM пе­ре­се­ка­ет пря­мую AC в точке P, пря­мая OM пе­ре­се­ка­ет пря­мую BP в точке K. Най­ди­те BK : KP, если

Окруж­ность с цен­тром О, по­стро­ен­ная на ка­те­те AC пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка ABC как на диа­мет­ре, пе­ре­се­ка­ет ги­по­те­ну­зу AB в точ­ках A и D. Ка­са­тель­ная про­ве­ден­ная к этой окруж­но­сти в точке D, пе­ре­се­ка­ет катет BC в точке M.

а)  До­ка­жи­те, что BM  =  CM.

б)  Пря­мая DM пе­ре­се­ка­ет пря­мую AC в точке P, пря­мая OM пе­ре­се­ка­ет пря­мую BP в точке K. Най­ди­те BK : KP, если

Вы­со­ты BB₁ и CC₁ ост­ро­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка ABC пе­ре­се­ка­ют­ся в точке H. От­ре­зок AP  — диа­метр окруж­но­сти, опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка ABC.

а)  До­ка­жи­те, что пря­мая HP пе­ре­се­ка­ет от­ре­зок BC в его се­ре­ди­не.

б)  Луч PH вто­рич­но пе­ре­се­ка­ет окруж­ность, опи­сан­ную около тре­уголь­ни­ка ABC, в точке M. Най­ди­те длину от­рез­ка MC₁, если рас­сто­я­ние от цен­тра этой окруж­но­сти до пря­мой BC равно 4, ∠BPH  =  120°.