Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 17 № 548488
i

В тре­уголь­ни­ке ABC про­ве­ли вы­со­ту CC1 и ме­ди­а­ну AA1. Ока­за­лось, что точки A, A1, C, C1 лежат на одной окруж­но­сти.

а)  До­ка­жи­те, что тре­уголь­ник ABC рав­но­бед­рен­ный.

б)  Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка ABC, если AA1 : CC1  =  3 : 2 и A1C1  =  2.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  Впи­сан­ные углы AC1C и AA1C опи­ра­ют­ся на одну дугу AC, зна­чит, они равны, то есть \angle AA_1C=90 гра­ду­сов. В тре­уголь­ни­ке ABC ме­ди­а­на AA1 яв­ля­ет­ся вы­со­той, зна­чит, тре­уголь­ник ABC яв­ля­ет­ся рав­но­бед­рен­ным и AB  =  AC.

б)  В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке BCC1 ме­ди­а­на C1A1 равна по­ло­ви­не ги­по­те­ну­зы, зна­чит, BC  =  4. Пря­мо­уголь­ные тре­уголь­ни­ки ABA1 и CBC1 по­доб­ны по об­ще­му углу B, зна­чит,

дробь: чис­ли­тель: AB, зна­ме­на­тель: BC конец дроби = дробь: чис­ли­тель: AA_1, зна­ме­на­тель: CC_1 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ;

AC=AB= дробь: чис­ли­тель: 3BC, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби =6.

В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке ACA1 по­лу­ча­ем

AA_1= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: AC в квад­ра­те минус CA_1 в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 36 минус 4 конец ар­гу­мен­та =4 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та .

Пло­щадь тре­уголь­ни­ка ABC равна дробь: чис­ли­тель: AA_1 умно­жить на BC, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби = 8 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та .

 

Ответ: б) 8 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та a) и обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б)3
По­лу­чен обос­но­ван­ный ответ в пунк­те б)

ИЛИ

име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а) и при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б) по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки

2
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а)

ИЛИ

при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б) по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки,

ИЛИ

обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б) с ис­поль­зо­ва­ни­ем утвер­жде­ния пунк­та а), при этом пункт а) не вы­пол­нен

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, при­ведённых выше0
Мак­си­маль­ный балл3
Источники:
Методы геометрии: Свой­ства ме­ди­ан, Углы в окруж­но­стях {центр., впис., опи­ра­ю­щи­е­ся на одну дугу}
Классификатор планиметрии: Мно­го­уголь­ни­ки, Мно­го­уголь­ни­ки и их свой­ства, Окруж­ность, опи­сан­ная во­круг че­ты­рех­уголь­ни­ка, По­до­бие
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Видеокурс · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025