а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Най­ди­те все корни урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

На реб­рах АВ и ВС тре­уголь­ной пи­ра­ми­ды DABC от­ме­че­ны точки M и N так, что АМ : МВ  =  СN : NB  =  1 : 3. Точки P и Q  — се­ре­ди­ны ребер DA и DC со­от­вет­ствен­но.

а)  До­ка­жи­те, что точки Р, Q, M и N лежат в одной плос­ко­сти.

б)  Най­ди­те от­но­ше­ние объ­е­мов мно­го­гран­ни­ков, на ко­то­рые плос­кость PQM делит пи­ра­ми­ду.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство:

В ав­гу­сте 2026 года Адам Ива­но­вич пла­ни­ру­ет взять кре­дит на не­ко­то­рую сумму. Усло­вия его воз­вра­та та­ко­вы:

—  каж­дый фев­раль долг воз­рас­та­ет на r% по срав­не­нию с кон­цом преды­ду­ще­го года;

—  с марта по июль каж­до­го года не­об­хо­ди­мо вы­пла­тить часть долга одним пла­те­жом;

Из­вест­но, что если Адам Ива­но­вич каж­дый раз будет вы­пла­чи­вать по 200 000 руб­лей, то он рас­счи­та­ет­ся по кре­ди­ту за 4 года, а если по 328 000 руб­лей, то за 2 года. Най­ди­те r.

В тре­уголь­ни­ке АВС на сто­ро­нах АВ и ВС от­ме­че­ны точки М и N со­от­вет­ствен­но, при­чем ВМ  =  ВN. Через точку М про­ве­де­на пря­мая, пер­пен­ди­ку­ляр­ная ВС, а через точку N  — пря­мая, пер­пен­ди­ку­ляр­ная АВ. Эти пря­мые пе­ре­се­ка­ют­ся в точке О. Про­дол­же­ние от­рез­ка ВО пе­ре­се­ка­ет сто­ро­ну АС в точке Р, АР  =  5, РС  =  4.

а)  До­ка­жи­те, что ВР  — бис­сек­три­са тре­уголь­ни­ка АВС.

б)  Най­ди­те длину от­рез­ка ВР, если ВС  =  6.

Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра a, при ко­то­рых корни урав­не­ния

мень­ше 3.

а)  При­ве­ди­те при­мер та­ко­го на­ту­раль­но­го числа n, что числа и дают оди­на­ко­вый оста­ток при де­ле­нии на 100.

б)  Сколь­ко су­ще­ству­ет трёхзнач­ных чисел n с ука­зан­ным в пунк­те а свой­ством?

в)  Сколь­ко су­ще­ству­ет дву­знач­ных чисел m, для каж­до­го из ко­то­рых су­ще­ству­ет ровно 36 трёхзнач­ных чисел n, таких, что и дают оди­на­ко­вый оста­ток при де­ле­нии на 100.