Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 17 № 513281
i

На сто­ро­нах AC и BC тре­уголь­ни­ка ABC вне тре­уголь­ни­ка по­стро­е­ны квад­ра­ты ACDE и BFKC. Точка M  — се­ре­ди­на сто­ро­ны AB.

а)  До­ка­жи­те, что CM= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби DK.

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние от точки M до цен­тров квад­ра­тов, если AC  =  10, BC  =  32 и ∠ACB  =  30°.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  До­стро­им тре­уголь­ник ABC до па­рал­ле­ло­грам­ма ALBC, тогда M − точка пе­ре­се­че­ния его диа­го­на­лей.

\angle LAC =180 гра­ду­сов минус \angle ACB=\angle KCD. AL = BC = KC . AC = CD.

Тогда тре­уголь­ни­ки LAC и KCD равны по двум сто­ро­нам и углу между ними. От­ку­да LC = KD, а CM= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби LC= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби KD, что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

Рис. 1

Рис. 2

б)  Пусть O1  — центр квад­ра­та CKFB. Тогда MO1  — сред­няя линия тре­уголь­ни­ка AKB. Най­дем те­перь AK по тео­ре­ме ко­си­ну­сов из тре­уголь­ни­ка ACK.

 

AK в квад­ра­те =AC в квад­ра­те плюс CK в квад­ра­те минус 2AC умно­жить на CK умно­жить на ко­си­нус \angle ACK=

=AC в квад­ра­те плюс BC в квад­ра­те минус 2AC умно­жить на BC умно­жить на ко­си­нус левая круг­лая скоб­ка \angle ACB плюс \angle BCK пра­вая круг­лая скоб­ка =

=AC в квад­ра­те плюс BC в квад­ра­те минус 2AC умно­жить на BC умно­жить на ко­си­нус левая круг­лая скоб­ка 120 гра­ду­сов пра­вая круг­лая скоб­ка =

=100 плюс 1024 плюс 320=1444=38 в квад­ра­те ,

от­ку­да MO_1= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на 38=19.

 

Оче­вид­но, рас­сто­я­ние до дру­го­го цен­тра све­дет­ся к на­хож­де­нию DB, ко­то­рое будет таким же.

 

Ответ: 19.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та a) и обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б)3
По­лу­чен обос­но­ван­ный ответ в пунк­те б)

ИЛИ

име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а) и при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б) по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки

2
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а)

ИЛИ

при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б) по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки,

ИЛИ

обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б) с ис­поль­зо­ва­ни­ем утвер­жде­ния пунк­та а), при этом пункт а) не вы­пол­нен

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, при­ведённых выше0
Мак­си­маль­ный балл3

Аналоги к заданию № 513281: 514716 515708 515784 Все

Источник: Ти­по­вые те­сто­вые за­да­ния по ма­те­ма­ти­ке, под ре­дак­ци­ей И. В. Ящен­ко 2016
Методы геометрии: Тео­ре­ма ко­си­ну­сов
Классификатор планиметрии: Мно­го­уголь­ни­ки и их свой­ства
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Видеокурс · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025