На сторонах AC, AB и BC прямоугольного треугольника ABC с прямым углом C вне треугольника ABC построены равнобедренные прямоугольные треугольники AKC, ALB и BMC с прямыми углами K, L и M соответственно.
а) Докажите, что LC — высота треугольника KLM.
б) Найдите площадь треугольника KLM, если LC = 6.
а) По условию
значит, четырёхугольник LACB вписанный. Хорды AL и LB описанной около четырёхугольника LACB окружности равны. Значит, равны между собой стягиваемые этими хордами дуги, а также опирающиеся на эти дуги вписанные углы ACL и LCB. Тогда углы ACL и LBC равны 45°.
По условию углы KCA и MCB равны 45°. Следовательно,
а значит, LC — высота треугольника KLM.
б) Для удобства обозначим отрезки буквами: BC — a, AC — b, AB — c и CL — d. Пусть P — точка пересечения CL и AB. Тогда по доказанному в пункте а) отрезок CP — биссектриса треугольника ABC. По свойству биссектрисы AP : PB = AC : CB = b : a, AP + PB = AB = c. Отсюда
и 
Поскольку углы ACL и LBC равны 45°, получаем, что треугольники ACL и PAL подобны по двум углам, тогда
и 
Площадь треугольника KLM равна половине произведения его высоты LC, обозначенной буквой d, на сторону, являющуюся основанием треугольника и равную
Следовательно, искомая площадь равна 
Ответ: 18.