Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 16 № 505536

Медианы AA1, BB1 и CC1 треугольника ABC пересекаются в точке M. Точки A2, B2 и C2 — середины отрезков MA, MB и MC соответственно.

а) Докажите, что площадь шестиугольника A1B2C1A2B1C2 вдвое меньше площади треугольника ABC.

б) Найдите сумму квадратов всех сторон этого шестиугольника, если известно, что AB = 4, BC = 7 и AC = 8.

Спрятать решение

Решение.

а) Пусть S_ABC=S. Из рисунка видно, что площадь шестиугольника A_1B_2C_1A_2B_1C_2 равна сумме площадей S_A_1B_1C_1 плюс S_B_1C_1A_2 плюс S_A_1C_1B_2 плюс S_A_1B_1C_2. Поскольку треугольник A1B1C1 подобен треугольнику ABC c коэффициентом подобия k= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби его площадь S_A_1B_1C_1= дробь: числитель: S, знаменатель: 4 конец дроби . Пусть K — точка пересечения медианы AA1 и средней линии B1C1. Медиана и средняя линия делят друг друга пополам, поскольку они являются диагоналями параллелограмма AB1A1C1. Откуда AK= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби AA_1, AK  — медиана треугольника AB1C1. Заметим, что

AA_2:AK= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби AM: дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби AA_1=AM:AA_1=2:3,

то есть точка A2 делит медиану AK треугольника AB1C1 в отношении 2 : 1. Значит, это точка пересечения медиан треугольника AB1C1. Площадь треугольника B1C1A2 равна трети площади треугольника AB1C1, то есть равна  дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби S= дробь: числитель: S, знаменатель: 12 конец дроби . Аналогично площади треугольников A1C1B2 и A1B1C2 равны  дробь: числитель: S, знаменатель: 12 конец дроби . Откуда площадь шестиугольника A1B2C1A2B1C2 равна  дробь: числитель: S, знаменатель: 4 конец дроби плюс 3 умножить на дробь: числитель: S, знаменатель: 12 конец дроби = дробь: числитель: S, знаменатель: 2 конец дроби .

 

б)  Пусть длины сторон BC, AC, AB треугольника ABC равны a, b, c. Докажем, что квадрат медианы AA1 равен  дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби (2b в квадрате плюс 2c в квадрате минус a в квадрате ). Для доказательства на продолжении отрезка AA1 за точку A1 отложим отрезок A1P = AA1. Получим параллелограмм ACPB со сторонами AC = PB = b и AB = CP = c и диагоналями BC = a и AP = 2AA1. Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его сторон:

2b в квадрате плюс 2c в квадрате =a в квадрате плюс 4AA_1 в квадрате равносильно AA_1 в квадрате = дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби (2b в квадрате плюс 2c в квадрате минус a в квадрате ).

Аналогично BB_1 в квадрате = дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби (2a в квадрате плюс 2c в квадрате минус b в квадрате ), а CC_1 в квадрате = дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби (2a в квадрате плюс 2b в квадрате минус c в квадрате ). Пусть L — середина отрезка AB1. Поскольку A2 — точка пересечения медиан треугольника AB1C1, она лежит на отрезке C1L и делит его в отношении 2 : 1, считая от точки C1. Значит, C_1A_2= дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби C_1L. Но треугольники AB1C1 и ABC подобны с коэффициентом 1/2, поэтому C_1L= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби BB_1 и C_1A_2= дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби BB_1. Повторяя те же рассуждения для треугольника A1B1C получаем, что отрезок A1C2 равен  дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби BB_1. Применяя аналогичные рассуждения, получим что стороны шестиугольника втрое меньше медиан треугольника ABC: B_2C_1=B_1C_2= дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби AA_1, A_2B_1=A_1B_2= дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби CC_1. Следовательно, сумма квадратов сторон шестиугольника равна:

2(B_1C_2 в квадрате плюс A_1C_2 в квадрате плюс A_1B_2 в квадрате )= дробь: числитель: 2, знаменатель: 9 конец дроби (AA_1 в квадрате плюс BB_1 в квадрате плюс CC_1 в квадрате )= дробь: числитель: 2, знаменатель: 9 конец дроби умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби умножить на (2b в квадрате плюс 2c в квадрате минус a в квадрате плюс 2a в квадрате плюс 2c в квадрате минус b в квадрате плюс 2a в квадрате плюс 2b в квадрате минус c в квадрате )=

= дробь: числитель: 1, знаменатель: 18 конец дроби умножить на 3(a в квадрате плюс b в квадрате плюс c в квадрате )= дробь: числитель: 1, знаменатель: 6 конец дроби (a в квадрате плюс b в квадрате плюс c в квадрате ).

Подставляя числовые значения получаем, что сумма квадратов шести сторон треугольника равна  дробь: числитель: 43, знаменатель: 2 конец дроби .

 

Ответ: 21,5.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)3
Получен обоснованный ответ в пункте б)

ИЛИ

имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки

2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а)

ИЛИ

при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,

ИЛИ

обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше0
Максимальный балл3

Аналоги к заданию № 505536: 507510 511416 511440 515828 Все

Методы геометрии: Свойства медиан
Спрятать решение · · Курс Д. Д. Гущина ·
Виолетта 14.03.2018 18:12

В п. 2 можно взять часть решения: В1С2=С1В2=АА2, В2А1=А2В1=СС2, А1С2=С1А2=ВВ2 и сумма квадратов всех сторон шестиугольника равна 2/9 (АА1 в квадрате + ВВ1 в квадрате + СС1 в квадрате) и дальше по теореме косинусов найти из треуг АВС cosА = 31/64, cosC = 92/112, и опять по теореме косинусов из треуг АВВ1 найти ВВ1 в квадрате = 16,5 , из треуг АСС1 найти СС1 в квадрате = 52,5, из треуг АА1С найти АА1 в квадрате = 27,75 и найденные величины подставить 2/9 (27,75 +16,5 +52,5) = 21,5