а)  Пусть Из ри­сун­ка видно, что пло­щадь ше­сти­уголь­ни­ка равна сумме пло­ща­дей По­сколь­ку тре­уголь­ник A₁B₁C₁ по­до­бен тре­уголь­ни­ку ABC c ко­эф­фи­ци­ен­том по­до­бия его пло­щадь Пусть K  — точка пе­ре­се­че­ния ме­ди­а­ны AA₁ и сред­ней линии B₁C₁. Ме­ди­а­на и сред­няя линия делят друг друга по­по­лам, по­сколь­ку они яв­ля­ют­ся диа­го­на­ля­ми па­рал­ле­ло­грам­ма AB₁A₁C₁. От­ку­да   — ме­ди­а­на тре­уголь­ни­ка AB₁C₁. За­ме­тим, что

то есть точка A₂ делит ме­ди­а­ну AK тре­уголь­ни­ка AB₁C₁ в от­но­ше­нии 2 : 1. Зна­чит, это точка пе­ре­се­че­ния ме­ди­ан тре­уголь­ни­ка AB₁C₁. Пло­щадь тре­уголь­ни­ка B₁C₁A₂ равна трети пло­ща­ди тре­уголь­ни­ка AB₁C₁, то есть равна Ана­ло­гич­но пло­ща­ди тре­уголь­ни­ков A₁C₁B₂ и A₁B₁C₂ равны От­ку­да пло­щадь ше­сти­уголь­ни­ка A₁B₂C₁A₂B₁C₂ равна

б)   Пусть длины сто­рон BC, AC, AB тре­уголь­ни­ка ABC равны a, b, c. До­ка­жем, что квад­рат ме­ди­а­ны AA₁ равен Для до­ка­за­тель­ства на про­дол­же­нии от­рез­ка AA₁ за точку A₁ от­ло­жим от­ре­зок A₁P  =  AA₁. По­лу­чим па­рал­ле­ло­грамм ACPB со сто­ро­на­ми AC  =  PB  =  b и AB  =  CP  =  c и диа­го­на­ля­ми BC  =  a и AP  =  2AA₁. Сумма квад­ра­тов диа­го­на­лей па­рал­ле­ло­грам­ма равна сумме квад­ра­тов его сто­рон:

Ана­ло­гич­но а Пусть L  — се­ре­ди­на от­рез­ка AB₁. По­сколь­ку A₂  — точка пе­ре­се­че­ния ме­ди­ан тре­уголь­ни­ка AB₁C₁, она лежит на от­рез­ке C₁L и делит его в от­но­ше­нии 2 : 1, счи­тая от точки C₁. Зна­чит, Но тре­уголь­ни­ки AB₁C₁ и ABC по­доб­ны с ко­эф­фи­ци­ен­том 1/2, по­это­му и По­вто­ряя те же рас­суж­де­ния для тре­уголь­ни­ка A₁B₁C по­лу­ча­ем, что от­ре­зок A₁C₂ равен При­ме­няя ана­ло­гич­ные рас­суж­де­ния, по­лу­чим что сто­ро­ны ше­сти­уголь­ни­ка втрое мень­ше ме­ди­ан тре­уголь­ни­ка ABC: Сле­до­ва­тель­но, сумма квад­ра­тов сто­рон ше­сти­уголь­ни­ка равна:

Под­став­ляя чис­ло­вые зна­че­ния по­лу­ча­ем, что сумма квад­ра­тов шести сто­рон тре­уголь­ни­ка равна

Ответ: 21,5.