Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 17 № 556588
i

В тре­уголь­ни­ке ABC на про­дол­же­нии сто­ро­ны AC за вер­ши­ну A от­ло­жен от­ре­зок AD, рав­ный сто­ро­не AB. Пря­мая, про­хо­дя­щая через точку A па­рал­лель­но BD, пе­ре­се­ка­ет сто­ро­ну BC в точке M.

а)  До­ка­жи­те, что AM  — бис­сек­три­са угла BAC.

б)  Най­ди­те пло­щадь тра­пе­ции AMBD, если пло­щадь тре­уголь­ни­ка ABC равна 216 и из­вест­но от­но­ше­ние AC : AB  =  5 : 4.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  Обо­зна­чим \angle BAC= альфа . По тео­ре­ме о внеш­нем угле тре­уголь­ни­ка \angle ABD плюс \angle ADB = альфа . Тре­уголь­ник ABD рав­но­бед­рен­ный, по­это­му \angle ADB=\angle ABD= дробь: чис­ли­тель: альфа , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби , а так как AM па­рал­лель­на BD,

\angle MAC=\angle BDC= дробь: чис­ли­тель: альфа , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби \angle BAC.

Сле­до­ва­тель­но, AM  — бис­сек­три­са угла BAC.

б)  По свой­ству бис­сек­три­сы тре­уголь­ни­ка дробь: чис­ли­тель: CM, зна­ме­на­тель: MB конец дроби = дробь: чис­ли­тель: AC, зна­ме­на­тель: AB конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби , зна­чит,

дробь: чис­ли­тель: S_ACM, зна­ме­на­тель: S_ABC конец дроби = дробь: чис­ли­тель: CM, зна­ме­на­тель: CB конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 9 конец дроби рав­но­силь­но S_ACM= дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 9 конец дроби S_ABC= дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 9 конец дроби умно­жить на 216=120.

Tре­уголь­ник DCB по­до­бен тре­уголь­ни­ку ACM с ко­эф­фи­ци­ен­том дробь: чис­ли­тель: 9, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби , по­это­му

S_DCB= левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 9, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те S_ACM= дробь: чис­ли­тель: 81, зна­ме­на­тель: 25 конец дроби умно­жить на 120=388,8.

Сле­до­ва­тель­но,

S_AMBD=S_DCB минус S_ACM=388,8 минус 120=268,8.

Ответ: 268,8.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а и обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б3
По­лу­чен обос­но­ван­ный ответ в пунк­те б

ИЛИ

име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а и при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки

2
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а

ИЛИ

при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки.

ИЛИ

обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б и ис­поль­зо­ва­ни­ем утвер­жде­ния пунк­та а, при этом пункт а не вы­пол­нен

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше0
Мак­си­маль­ный балл3

Аналоги к заданию № 556588: 556596 Все

Методы геометрии: Свой­ства бис­сек­трис
Классификатор планиметрии: Мно­го­уголь­ни­ки, Мно­го­уголь­ни­ки и их свой­ства, По­до­бие, Тре­уголь­ни­ки
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Видеокурс · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2026