а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Най­ди­те все корни урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

Ос­но­ва­ни­ем пи­ра­ми­ды SABC яв­ля­ет­ся рав­но­сто­рон­ний тре­уголь­ник ABC, длина сто­ро­ны ко­то­ро­го равна Бо­ко­вое ребро SC пер­пен­ди­ку­ляр­но плос­ко­сти ос­но­ва­ния и имеет длину 2. Точки М и N  — се­ре­ди­ны ребер BC и AB со­от­вет­ствен­но.

а)  До­ка­жи­те, что угол между пря­мы­ми SM и CN равен 45°.

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние между SM и CN.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство:

Пред­при­ни­ма­тель купил зда­ние и со­би­ра­ет­ся от­крыть в нём отель. В отеле могут быть стан­дарт­ные но­ме­ра пло­ща­дью 21 квад­рат­ный метр и но­ме­ра «люкс» пло­ща­дью 49 квад­рат­ных мет­ров. Общая пло­щадь, ко­то­рую можно от­ве­сти под но­ме­ра, со­став­ля­ет 1099 квад­рат­ных мет­ров. Пред­при­ни­ма­тель может по­де­лить эту пло­щадь между но­ме­ра­ми раз­лич­ных типов, как хочет. Обыч­ный номер будет при­но­сить отелю 2000 руб­лей в сутки, а номер «люкс»  — 4500 руб­лей в сутки. Какую наи­боль­шую сумму денег смо­жет за­ра­бо­тать в сутки на своём отеле пред­при­ни­ма­тель?

На ме­ди­а­не AD тре­уголь­ни­ка ABC от­ме­ти­ли точку E. Точка F  — се­ре­ди­на от­рез­ка BE, G  — точка пе­ре­се­че­ния от­рез­ков AD и CF. От­но­ше­ние пло­ща­ди тре­уголь­ни­ка EFG к пло­ща­ди тре­уголь­ни­ка ABC равно 1 : 8.

а)  До­ка­жи­те, что

б)  Най­ди­те пло­щадь че­ты­рех­уголь­ни­ка BDGF, если AB  =  7 и AC  =  10.

Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра a, при каж­дом из ко­то­рых урав­не­ние имеет ровно три раз­лич­ных корня.

По­сле­до­ва­тель­ность {a_n} для всех на­ту­раль­ных со­сто­ит из на­ту­раль­ных чисел и об­ла­да­ет сле­ду­ю­щим свой­ством: по­сле­до­ва­тель­ность сред­них ариф­ме­ти­че­ских с общим чле­ном

для также со­сто­ит из на­ту­раль­ных чисел.

а)  Най­ди­те a_n, если для всех

б)  По­сле­до­ва­тель­ность {b_n} яв­ля­ет­ся пе­ри­о­ди­че­ской: все члены с не­чет­ны­ми но­ме­ра­ми равны c, все члены с чет­ны­ми но­ме­ра­ми равны (c + 1), где c не­чет­ное на­ту­раль­ное число. Най­ди­те по­след­ние члены по­сле­до­ва­тель­но­стей {a_n} и {b_n}.

в)  По­сле­до­ва­тель­ность {b_n} яв­ля­ет­ся убы­ва­ю­щей ариф­ме­ти­че­ской про­грес­си­ей с пер­вым чле­ном 100 и раз­но­стью d  =  –1 и имеет наи­боль­шее воз­мож­ное число чле­нов. Сколь­ко чле­нов в этой по­сле­до­ва­тель­но­сти?