На сторонах AC, AB и BC прямоугольного треугольника ABC с прямым углом C вне треугольника ABC построены равнобедренные прямоугольные треугольники AKC, ALB и BMC с прямыми углами K, L и M соответственно.
а) Докажите, что LC — высота треугольника KLM.
б) Найдите площадь треугольника KLM, если LC = 4.
а) По условию
значит, четырёхугольник LACB вписанный. Хорды AL и LB описанной около четырёхугольника LACB окружности равны. Значит, равны между собой стягиваемые этими хордами дуги, а также опирающиеся на эти дуги вписанные углы ACL и LCB. Тогда углы ACL и LCB равны между собой, и, значит, каждый из них равен 45°. Острый угол KCA равнобедренного прямоугольного треугольника также равен 45°. Следовательно,
а значит, LC — высота треугольника KLM.
б) Обозначим отрезки буквами для удобства: BC — a, AC — b, AB — c и CL — d. P — точка пересечения CL и AB. Тогда по доказанному в пункте а) отрезок CP — биссектриса треугольника ABC. По свойству биссектрисы AP : PB = AC : CB = b : a, AP + PB = AB = c. Отсюда
и 
Поскольку углы ACL и LCB равны 45°, получаем, что треугольники ACL и PAL подобны по двум углам, тогда:
Площадь треугольника KLM равна половине произведения его высоты LC, обозначенной буквой d, на сторону, являющейся основанием треугольника и равным
Следовательно, искомая площадь равна 
то есть 8.
Ответ: 8.
Приведем решение пункта б) Luigi Cussigh.
Пусть BC = a, AC = b, AB = c. Четырехугольник ALBC — вписанный, тогда по теореме Птолемея
AL · BC + AC · BL = AB · CL.
Прямоугольный треугольник ALB — равнобедренный, тогда 
следовательно,
Прямоугольный треугольник AKC — равнобедренный, тогда 
аналогично 
Площадь треугольника KLM равна половине произведения его высоты LC на сторону, являющуюся основанием треугольника и равную
Следовательно, искомая площадь равна
Приведем решение Ирины Шраго.
Обозначим отрезки буквами для удобства: BC — a, AC — b, AB — c и CL — d. По доказанному в пункте а) углы ACL и LCB равны 45°.
По теореме косинусов для треугольника ACL 
По теореме косинусов для треугольника BCL 
По условию AL = LB, тогда
Следовательно, либо 
либо a = b, тогда треугольник ABC равнобедренный, и 
Площадь треугольника KLM равна половине произведения его высоты LC на сторону, являющуюся основанием треугольника и равную
тогда искомая площадь равна