ЕГЭ–2025, математика профильная: задания, ответы, решения

Тип 17 № 525120

i

Дана трапеция ABCD с основаниями BC и AD. Точки M и N являются серединами сторон AB и CD соответственно. Окружность, проходящая через точки B и С, пересекает отрезки BM и CN в точках P и Q (отличных от концов отрезков).

а)  Докажите, что точки M, N, P и Q лежат на одной окружности.

б)  Найдите QN, если отрезки DP и PC перпендикулярны, AB  =  21, BC  =  4, CD  =  20, AD  =  17.

Решения заданий с развернутым ответом не проверяются автоматически. Запишите решение на бумаге.
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.

Тип 17 № 525141

i

Дана трапеция ABCD с основаниями BC и AD. Точки M и N являются серединами сторон AB и CD соответственно. Окружность, проходящая через точки B и С, пересекает отрезки BM и CN в точках P и Q (отличных от концов отрезков).

а)  Докажите, что точки M, N, P и Q лежат на одной окружности.

б)  Найдите радиус окружности, описанной около треугольника MPQ, если прямая DP перпендикулярна прямой PC, AB  =  25, BC  =  3, CD  =  28, AD  =  20.

Решения заданий с развернутым ответом не проверяются автоматически. Запишите решение на бумаге.
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.

Тип 17 № 525243

i

Дана трапеция ABCD с основаниями BC и AD. Точки M и N являются серединами сторон AB и CD соответственно. Окружность, проходящая через точки B и С, пересекает отрезки BM и CN в точках P и Q (отличных от концов отрезков).

а)  Докажите, что точки M, N, P и Q лежат на одной окружности.

б)  Найдите длину отрезка QN, если BC  =  4,5, AD  =  21,5, AB  =  26, CD  =  25, а угол CPD  — прямой.

Решения заданий с развернутым ответом не проверяются автоматически. Запишите решение на бумаге.
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.

Тип 17 № 526016

i

Дана трапеция ABCD с основаниями AD и BC. Точки M и N  — середины сторон AB и CD соответственно. Окружность проходит через точки B и C и пересекает отрезки BM и CN в точках P и Q, отличных от концов отрезка, соответственно.

а)  Докажите, что точки M, N, P и Q лежат на одной окружности.

б)  Найдите PM, если отрезки AQ и BQ перпендикулярны, AB  =  15, BC  =  1, CD  =  17, AD  =  9.

Решения заданий с развернутым ответом не проверяются автоматически. Запишите решение на бумаге.
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.

Тип 17 № 525380

i

Две окружности касаются внешним образом в точке K. Прямая AB касается первой окружности в точке A, а второй   — в точке B. Прямая BK пересекает первую окружность в точке D, прямая AK пересекает вторую окружность в точке C.

а)  Докажите, что прямые AD и BC параллельны.

б)  Найдите радиус окружности, описанной около треугольника BCD, если известно, что радиус первой окружности равен 4, а радиус второй окружности равен 1.

Решения заданий с развернутым ответом не проверяются автоматически. Запишите решение на бумаге.
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.

Тип 17 № 526218

i

Точка O  — центр вписанной в треугольник ABC окружности. Прямая OB вторично пересекает описанную около этого треугольника окружность в точке P.

а)  Докажите, что $OP=AP.$

б)  Найдите расстояние от точки P до прямой AC, если $\angle ABC=120 градусов,$ а радиус описанной окружности равен 18.

Решения заданий с развернутым ответом не проверяются автоматически. Запишите решение на бумаге.
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.

Тип 17 № 526255

i

Около остроугольного треугольника ABC с различными сторонами описали окружность с диаметром BN. Высота BH пересекает эту окружность в точке K.

а)  Докажите, что $AN=CK.$

б)  Найдите KN, если $\angle BAC=35 градусов,$ $\angle ACB=65 градусов,$ а радиус окружности равен 12.

Решения заданий с развернутым ответом не проверяются автоматически. Запишите решение на бумаге.
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.

Тип 17 № 526292

i

Точка O  — центр вписанной в треугольник ABC окружности. Прямая OB вторично пересекает описанную около этого треугольника окружность в точке P.

а)  Докажите, что $\angle POC=\angle PCO.$

б)  Найдите площадь треугольника APC, если радиус описанной около треугольника ABC окружности равен 4, а $\angle ABC = 120 градусов.$

Решения заданий с развернутым ответом не проверяются автоматически. Запишите решение на бумаге.
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.

Тип 17 № 526531

i

Точка O  — центр вписанной в треугольник ABC окружности. Прямая BO вторично пересекает описанную около этого треугольника окружность в точке P.

а)  Докажите, что $\angle POC=\angle PCO.$

б)  Найдите площадь треугольника APC, если радиус описанной около треугольника ABC окружности равен 8, а $\angle ABC = 60 градусов.$

Решения заданий с развернутым ответом не проверяются автоматически. Запишите решение на бумаге.
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.

Тип 17 № 526342

i

В остроугольном треугольнике ABC $\angle A=60 градусов.$ Высоты BN и CM треугольника ABC пересекаются в точке H. Точка  O  — центр окружности, описанной около $\Delta ABC.$

а)  Докажите, что $AH=AO.$

б)  Найдите площадь $\Delta AHO,$ если $BC=6 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента ,$ $\angle ABC = 45 градусов.$

Решения заданий с развернутым ответом не проверяются автоматически. Запишите решение на бумаге.
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.

Тип 17 № 526334

i

В прямоугольном треугольнике ABC точка M лежит на катете AC, а точка N лежит на продолжении катета  BC за точку C, причём $CM=BC$ и $CN=AC.$ Отрезки CP и CQ  — биссектрисы треугольников ACB и NCM соответственно.

а)  Докажите, что CP и СQ перпендикулярны.

б)  Найдите PQ, если $BC=3,$ а $AC=5.$

Решения заданий с развернутым ответом не проверяются автоматически. Запишите решение на бумаге.
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.

Тип 17 № 526705

i

Окружность касается стороны AC остроугольного треугольника ABC и делит каждую из сторон AB и BC на три равные части.

а)  Докажите, что треугольник ABC равнобедренный.

б)  Найдите, в каком отношении высота этого треугольника делит сторону BC.

Решения заданий с развернутым ответом не проверяются автоматически. Запишите решение на бумаге.
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.

Тип 17 № 526677

i

Из вершины С прямого угла прямоугольного треугольника ABC проведена высота CH.

а)  Докажите, что отношение площадей кругов, построенных на отрезках AH и BH соответственно как на диаметрах равно $тангенс в степени 4 \angle ABC.$

б)  Пусть точка O₁  — центр окружности диаметра AH, вторично пересекающей отрезок AC в точке P, а точка O₂  — центр окружности с диаметром BH, вторично пересекающей отрезок BC в точке Q. Найдите площадь четырёхугольника O₁PQO₂, если $AC=22, BC=18.$

Решения заданий с развернутым ответом не проверяются автоматически. Запишите решение на бумаге.
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.

Тип 17 № 527245

i

Две окружности разных радиусов касаются внешним образом в точке K. Прямая касается первой окружности в точке А, а второй окружности в точке В. Луч BK пересекает первую окружность в точке D, луч AK пересекает вторую окружность в точке С.

а)  Докажите, что четырёхугольник ABCD  — трапеция.

б)  Найдите радиус окружности, описанной около треугольника BCD, если радиус первой окружности равен 1, а радиус второй окружности равен 4.

Решения заданий с развернутым ответом не проверяются автоматически. Запишите решение на бумаге.
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.

Задания 16 (С4) ЕГЭ 2019

Задания 16 (С4) ЕГЭ 2019