В треугольнике ABC проведены высота AH и медиана AM, угол ACB равен 30°. Точка H лежит на отрезке BM. В треугольнике ACM проведена высота MQ. Прямые MQ и AH пересекаются в точке F. Известно, что AM — биссектриса угла HAC.
а) Докажите, что треугольник ABC прямоугольный.
б) Найдите площадь треугольника CFM, если AB = 10.
а) Прямоугольные треугольники AQM и AHM равны, поскольку имеют общую гипотенузу и равные острые углы. Следовательно, 
как соответственные элементы равных фигур. В прямоугольном треугольнике MQC один из острых углов равен 30°, значит, катет, противолежащий этому углу, равен половине гипотенузы. Не ограничивая общности, положим 
а 
По свойству биссектрисы 
откуда 
и 
Далее, 
а из равных прямоугольных треугольников AQM и CQM находим: 
Получаем, что отрезок AM — медиана, равная половине стороны, к которой проведена. Из этого следует, что при вершине A треугольника ABC расположен прямой угол.
б) В треугольнике ABC катет AB лежит против угла в 30°, а потому он вдвое меньше гипотенузы, откуда 
и 
Квадрат катета в прямоугольном треугольнике равен произведению гипотенузы на проекцию этого катета на гипотенузу. Значит, 
откуда
Следовательно, 
Заметим, что треугольники FHM и CQM равны, поскольку 
и углы QMC и HMF равны как вертикальные. Отсюда 
а по теореме Пифагора в треугольнике FHM:
Итак, искомая площадь равна
Ответ: 
Приведем решение Александра Турбанова (Липецк).
а) В прямоугольном треугольнике CQM 
а потому смежный с ним 
В четырехугольнике AQMH сумма градусных мер противолежащих углов равна 180°, значит, он вписанный. Отсюда 
и, как следствие, 
Из равных прямоугольных треугольников AQM и CQM находим Получаем, что отрезок AM — медиана, равная половине стороны, к которой проведена. Из этого следует, что при вершине A треугольника ABC расположен прямой угол.
б) В треугольнике ABC катет AB лежит против угла в 30°, а потому он вдвое меньше гипотенузы, откуда и В прямоугольном треугольнике AHB угол 
значит, 
Далее 
как вертикальные углы, откуда в прямоугольном треугольнике FHM получаем 
и 
Следовательно, 
и
