Ребро SA пи­ра­ми­ды SABC пер­пен­ди­ку­ляр­но плос­ко­сти ос­но­ва­ния ABC.

а)  До­ка­жи­те, что вы­со­та пи­ра­ми­ды, про­ведённая из точки A, де­лит­ся плос­ко­стью, про­хо­дя­щей через се­ре­ди­ны рёбер AB, AC и SA, по­по­лам.

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние от вер­ши­ны A до этой плос­ко­сти, если AB  =  AC  =  5,

В пра­виль­ной тре­уголь­ной приз­ме ABCA₁B₁C₁ все рёбра равны 1.

а)  До­ка­жи­те, что пря­мая AB₁ па­рал­лель­на пря­мой, про­хо­дя­щей через се­ре­ди­ны от­рез­ков AC и BC₁.

б)  Най­ди­те ко­си­нус угла между пря­мы­ми AB₁ и BC₁.

В пра­виль­ной ше­сти­уголь­ной приз­ме ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁ сто­ро­ны ос­но­ва­ния равны 5, а бо­ко­вые рёбра равны 11.

а)  До­ка­жи­те, что пря­мые CA₁ и C₁D₁ пер­пен­ди­ку­ляр­ны.

б)  Най­ди­те пло­щадь се­че­ния приз­мы плос­ко­стью, про­хо­дя­щей через вер­ши­ны C, A₁ и F₁.

Окруж­ность с цен­тром O впи­са­на в угол, рав­ный 60°. Окруж­ность боль­ше­го ра­ди­у­са с цен­тром O₁ также впи­са­на в этот угол и про­хо­дит через точку O.

а)  До­ка­жи­те, что ра­ди­ус вто­рой окруж­но­сти вдвое боль­ше ра­ди­у­са пер­вой.

б)  Най­ди­те длину общей хорды этих окруж­но­стей, если из­вест­но, что ра­ди­ус пер­вой окруж­но­сти равен

Точки B₁ и C₁ лежат на сто­ро­нах со­от­вет­ствен­но AC и AB тре­уголь­ни­ка ABC, причём AB₁ : B₁C  =  AC₁ : C₁B. Пря­мые BB₁ и CC₁ пе­ре­се­ка­ют­ся в точке O.

а)  До­ка­жи­те, что пря­мая AO делит по­по­лам сто­ро­ну BC.

б)  Най­ди­те от­но­ше­ние пло­ща­ди четырёхуголь­ни­ка AB₁OC₁ к пло­ща­ди тре­уголь­ни­ка ABC, если из­вест­но, что AB₁ : B₁C  =  AC₁ : C₁B  =  1 : 4.

На сто­ро­нах AC и BC тре­уголь­ни­ка ABC вне тре­уголь­ни­ка по­стро­е­ны квад­ра­ты ACDE и BFKC. Точка M  — се­ре­ди­на сто­ро­ны AB.

а)  До­ка­жи­те, что

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ния от точки M до цен­тров квад­ра­тов, если и

На ка­те­тах AC и BC пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка ABC вне тре­уголь­ни­ка по­стро­е­ны квад­ра­ты ACDE и BFKC. Точка M  — се­ре­ди­на ги­по­те­ну­зы AB, H  — точка пе­ре­се­че­ния пря­мых CM и DK.

а)  До­ка­жи­те, что CMDK.

б)  Най­ди­те MH, если из­вест­но, что ка­те­ты тре­уголь­ни­ка ABC равны 130 и 312.