Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 16 № 628039

В треугольнике ABC точки M и N лежат на сторонах AB и BC соответственно так, что AM : MB = CN : NB = 2 : 3. Окружность, вписанная в треугольник ABC, касается отрезка MN в точке K.

a) Докажите, что A B плюс B C=4 A C.

б) Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник ABC, если M K= дробь: числитель: 9, знаменатель: 5 конец дроби и K N=3.

Спрятать решение

Решение.

а)  Пусть AM = 2x, MB = 3x, BN = 3y, NC = 2y. Тогда треугольники ABC и MBN подобны, и прямые MN и AC параллельны. Поскольку MN:AC=3:5, MN = 3t, AC = 5t. По свойству описанного четырёхугольника,

AM плюс NC=MN плюс AC,

тогда

8t=2x плюс 2y равносильно 5t= дробь: числитель: 5, знаменатель: 4 конец дроби левая круглая скобка x плюс y правая круглая скобка .

Отсюда 4AC=5 левая круглая скобка x плюс y правая круглая скобка , 5x плюс 5y=AB плюс BC. Что и требовалось доказать.

б)  Пусть P  — точка касания окружности со стороной AC, O  — центр окружности. Тогда прямые OK и MN перпендикулярны, прямые OP и AC перпендикулярны, прямые MN и AC параллельны. Тогда точки K, O и P лежат на одной прямой, и AMKP  — прямоугольная трапеция. Пусть AP = x. Заметим, что

AC=MN умножить на дробь: числитель: 5, знаменатель: 3 конец дроби = левая круглая скобка дробь: числитель: 9, знаменатель: 5 конец дроби плюс 3 правая круглая скобка умножить на дробь: числитель: 5, знаменатель: 3 конец дроби =8,

откуда PC = 8 − x. Тогда NC=3 плюс 8 минус x=11 минус x, AM= дробь: числитель: 9, знаменатель: 5 конец дроби плюс x. По теореме Пифагора

KP в квадрате = левая круглая скобка дробь: числитель: 9, знаменатель: 5 конец дроби плюс x правая круглая скобка в квадрате минус левая круглая скобка x минус дробь: числитель: 9, знаменатель: 5 конец дроби правая круглая скобка в квадрате = дробь: числитель: 36, знаменатель: 5 конец дроби x.

Из другой прямоугольной трапеции получаем, что

KP в квадрате = левая круглая скобка 11 минус x правая круглая скобка в квадрате минус левая круглая скобка 8 минус x минус 3 правая круглая скобка в квадрате =121 минус 22x плюс x в квадрате минус 25 плюс 10x минус x в квадрате =96 минус 12x равносильно

 равносильно дробь: числитель: 96, знаменатель: 5 конец дроби x=96 равносильно x=5.

Отсюда KP в квадрате =36 равносильно KP=6, тогда радиус окружности, вписанной в треугольник ABC, равен 3.

 

Ответ: б) 3.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б)3
Получен обоснованный ответ в пункте б)

ИЛИ

имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки

2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а),

ИЛИ

при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,

ИЛИ

обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше0
Максимальный балл3
Источник: ЕГЭ по математике 28.03.2022. Досрочная волна. Иркутск. Вариант 3, Задания 16 ЕГЭ–2022, ЕГЭ по математике 28.03.2022. Досрочная волна. ФИПИ. Вариант 4