В треугольнике ABC точки M и N лежат на сторонах AB и BC соответственно так, что 
Окружность, вписанная в треугольник ABC, касается отрезка MN в точке K.
a) Докажите, что 
б) Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник ABC, если 
и 
а) Пусть AM = 2x, MB = 3x, BN = 3y, NC = 2y. Тогда треугольники ABC и MBN подобны, и прямые MN и AC параллельны. Поскольку 
MN = 3t, AC = 5t. По свойству описанного четырёхугольника,
тогда
Отсюда 
Что и требовалось доказать.
б) Пусть P — точка касания окружности со стороной AC, O — центр окружности. Тогда прямые OK и MN перпендикулярны, прямые OP и AC перпендикулярны, прямые MN и AC параллельны. Тогда точки K, O и P лежат на одной прямой, и AMKP — прямоугольная трапеция. Пусть AP = x. Заметим, что
откуда PC = 8 − x. Тогда 
По теореме Пифагора
Из другой прямоугольной трапеции получаем, что
Отсюда 
тогда радиус окружности, вписанной в треугольник ABC, равен 3.
Ответ: б) 3.
Приведем решение пункта б) Ивана Иванова.
Треугольники ABC и MBN подобны с коэффициентом подобия 
тогда 
тогда:
Пусть F — точка касания окружности и стороны AB, E — точка касания окружности и стороны CB, тогда 
Отрезки BF и BE равны как отрезки касательных, проведенных из одной точки, следовательно,
По доказанному в пункте а) 
Решая систему уравнений, получим AB = 17, BC = 15.
Для треугольника ABC выполняется равенство 
следовательно, он прямоугольный, и его площадь равна 
С другой стороны, 
тогда
