Най­ди­те ко­рень урав­не­ния

На чем­пи­о­на­те по прыж­кам в воду вы­сту­па­ют 20 спортс­ме­нов, среди них 7 спортс­ме­нов из Гер­ма­нии и 9 спортс­ме­нов из США. По­ря­док вы­ступ­ле­ний опре­де­ля­ет­ся же­ребьёвкой. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что две­на­дца­тым будет вы­сту­пать спортс­мен из Гер­ма­нии.

В четырёхуголь­ник ABCD впи­са­на окруж­ность, и Най­ди­те пе­ри­метр четырёхуголь­ни­ка ABCD.

Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния

Через сред­нюю линию ос­но­ва­ния пра­виль­ной тре­уголь­ной приз­мы, объём ко­то­рой равен 84, про­ве­де­на плос­кость, па­рал­лель­ная бо­ко­во­му ребру. Най­ди­те объём отсечённой тре­уголь­ной приз­мы.

На ри­сун­ке изоб­ражён гра­фик функ­ции y  =  f(x), опре­делённой на ин­тер­ва­ле (−5; 4). Най­ди­те ко­рень урав­не­ния

Ло­ка­тор ба­ти­ска­фа, рав­но­мер­но по­гру­жа­ю­ще­го­ся вер­ти­каль­но вниз, ис­пус­ка­ет уль­тра­зву­ко­вые им­пуль­сы ча­сто­той 299 МГц. Ско­рость по­гру­же­ния ба­ти­ска­фа υ (в м/с) вы­чис­ля­ет­ся по фор­му­ле где   — ско­рость звука в воде, f₀  — ча­сто­та ис­пус­ка­е­мых им­пуль­сов (в МГц), f  — ча­сто­та отражённого от дна сиг­на­ла (в МГц), ре­ги­стри­ру­е­мая приёмни­ком. Опре­де­ли­те ча­сто­ту отражённого сиг­на­ла, если ско­рость по­гру­же­ния ба­ти­ска­фа равна Ответ дайте в МГц.

Име­ет­ся два со­су­да. Пер­вый со­дер­жит 40 кг, а вто­рой  — 25 кг рас­тво­ров кис­ло­ты раз­лич­ной кон­цен­тра­ции. Если эти рас­тво­ры сме­шать, то по­лу­чит­ся рас­твор, со­дер­жа­щий 30% кис­ло­ты. Если же сме­шать рав­ные массы этих рас­тво­ров, то по­лу­чит­ся рас­твор, со­дер­жа­щий 36% кис­ло­ты. Сколь­ко про­цен­тов кис­ло­ты со­дер­жит­ся в пер­вом со­су­де?

На ри­сун­ке изоб­ра­же­ны гра­фи­ки функ­ций и пе­ре­се­ка­ю­щи­е­ся в точ­ках A и B. Най­ди­те абс­цис­су точки B.

Ав­то­ма­ти­че­ская линия из­го­тав­ли­ва­ет ба­та­рей­ки. Ве­ро­ят­ность того, что го­то­вая ба­та­рей­ка не­ис­прав­на, равна 0,05. Перед упа­ков­кой каж­дая ба­та­рей­ка про­хо­дит си­сте­му кон­тро­ля ка­че­ства. Ве­ро­ят­ность того, что си­сте­ма за­бра­ку­ет не­ис­прав­ную ба­та­рей­ку, равна 0,99. Ве­ро­ят­ность того, что си­сте­ма по ошиб­ке за­бра­ку­ет ис­прав­ную ба­та­рей­ку, равна 0,01. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что слу­чай­но вы­бран­ная из­го­тов­лен­ная ба­та­рей­ка будет за­бра­ко­ва­на си­сте­мой кон­тро­ля.

Най­ди­те наи­мень­шее зна­че­ние функ­ции на от­рез­ке [1; 50 ].

а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Ука­жи­те корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

Раз­лич­ные точки A, B и C лежат на окруж­но­сти ос­но­ва­ния ко­ну­са с вер­ши­ной S так, что от­ре­зок AB яв­ля­ет­ся её диа­мет­ром. Угол между об­ра­зу­ю­щей ко­ну­са и плос­ко­стью ос­но­ва­ния равен 60°.

a) До­ка­жи­те, что

б) Най­ди­те объем тет­ра­эд­ра SABC, если и

Ре­ши­те не­ра­вен­ство

15-го де­каб­ря пла­ни­ру­ет­ся взять кре­дит в банке на сумму 1100 тысяч руб­лей на 16 ме­ся­цев. Усло­вия воз­вра­та та­ко­вы:

− 1-го числа каж­до­го ме­ся­ца долг воз­рас­та­ет на r% по срав­не­нию с кон­цом преды­ду­ще­го ме­ся­ца (r  — целое число);

− со 2-го по 14-е число каж­до­го ме­ся­ца не­об­хо­ди­мо вы­пла­тить одним пла­те­жом часть долга;

− 15-го числа каж­до­го ме­ся­ца с 1-го по 15-й долг дол­жен быть на одну и ту же сумму мень­ше долга на 15-е число преды­ду­ще­го ме­ся­ца;

− 15-го числа 15-го ме­ся­ца долг дол­жен быть равен 500 тысяч руб­лей;

− к 15-му числу 16-го ме­ся­ца кре­дит дол­жен быть пол­но­стью по­га­шен.

Най­ди­те r, если из­вест­но, что сумма всех пла­те­жей после пол­но­го по­га­ше­ния кре­ди­та будет со­став­лять 1228 тысяч руб­лей.

В тре­уголь­ни­ке ABC точки M и N лежат на сто­ро­нах AB и BC со­от­вет­ствен­но так, что Окруж­ность, впи­сан­ная в тре­уголь­ник ABC, ка­са­ет­ся от­рез­ка MN в точке K.

a) До­ка­жи­те, что

б) Най­ди­те ра­ди­ус окруж­но­сти, впи­сан­ной в тре­уголь­ник ABC, если и

Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра a, при каж­дом из ко­то­рых си­сте­ма урав­не­ний

имеет ровно три раз­лич­ных ре­ше­ния.

Каж­дое из четырёх по­сле­до­ва­тель­ных на­ту­раль­ных чисел, по­след­ние цифры ко­то­рых не равны нулю, по­де­ли­ли на его по­след­нюю цифру. Сумма по­лу­чив­ших­ся чисел равна S.

а) Может ли

б) Может ли

в) Най­ди­те наи­боль­шее целое зна­че­ние S, если каж­дое из ис­ход­ных чисел было трёхзнач­ным.