Ост­рый угол В пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка равен 66°. Най­ди­те угол между вы­со­той СН и ме­ди­а­ной СМ, про­ве­ден­ны­ми из вер­ши­ны пря­мо­го угла. Ответ дайте в гра­ду­сах.

Даны век­то­ры и Най­ди­те ска­ляр­ное про­из­ве­де­ние

Около ко­ну­са опи­са­на сфера (сфера со­дер­жит окруж­ность ос­но­ва­ния ко­ну­са и его вер­ши­ну). Центр сферы на­хо­дит­ся в цен­тре ос­но­ва­ния ко­ну­са. Об­ра­зу­ю­щая ко­ну­са равна Най­ди­те ра­ди­ус сферы.

В со­рев­но­ва­ни­ях по тол­ка­нию ядра участ­ву­ют 4 спортс­ме­на из Фин­лян­дии, 7 спортс­ме­нов из Дании, 9 спортс­ме­нов из Шве­ции и 5 из Нор­ве­гии. По­ря­док, в ко­то­ром вы­сту­па­ют спортс­ме­ны, опре­де­ля­ет­ся жре­би­ем. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что спортс­мен, ко­то­рый вы­сту­па­ет по­след­ним, ока­жет­ся из Шве­ции.

При вы­печ­ке хлеба про­из­во­дит­ся кон­троль­ное взве­ши­ва­ние све­жей бу­хан­ки. Из­вест­но, что ве­ро­ят­ность того, что масса ока­жет­ся мень­ше, чем 810 г, равна 0,97. Ве­ро­ят­ность того, что масса ока­жет­ся боль­ше, чем 790 г, равна 0,91. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что масса бу­хан­ки боль­ше, чем 790 г, но мень­ше, чем 810 г.

Най­ди­те ко­рень урав­не­ния:

Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния

На ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик функ­ции f(x) и ка­са­тель­ная к этому гра­фи­ку, про­ведённая в точке x₀. Най­ди­те зна­че­ние про­из­вод­ной функ­ции f(x) в точке x₀.

Ав­то­мо­биль раз­го­ня­ет­ся на пря­мо­ли­ней­ном участ­ке шоссе с по­сто­ян­ным уско­ре­ни­ем a  =  5000 км/ч². Ско­рость вы­чис­ля­ет­ся по фор­му­ле где l  — прой­ден­ный ав­то­мо­би­лем путь в км. Най­ди­те, сколь­ко ки­ло­мет­ров про­едет ав­то­мо­биль к мо­мен­ту, когда он раз­го­нит­ся до ско­ро­сти 100 км/⁠ч.

Два ве­ло­си­пе­ди­ста од­но­вре­мен­но от­пра­ви­лись в 240-⁠ки­ло­мет­ро­вый про­бег. Пер­вый ехал со ско­ро­стью, на 1 км/⁠ч боль­шей, чем ско­рость вто­ро­го, и при­был к фи­ни­шу на 1 час рань­ше вто­ро­го. Найти ско­рость ве­ло­си­пе­ди­ста, при­шед­ше­го к фи­ни­шу пер­вым. Ответ дайте в км/⁠ч.

На ри­сун­ке изоб­ра­же­ны гра­фи­ки функ­ций и ко­то­рые пе­ре­се­ка­ют­ся в точ­ках A и B. Най­ди­те абс­цис­су точки B.

Най­ди­те точку мак­си­му­ма функ­ции

a)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Най­ди­те все корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

В пра­виль­ной четырёхуголь­ной пи­ра­ми­де SABCD через ребро AB про­ве­ли плос­кость α, об­ра­зу­ю­щую се­че­ние ABMN, где M и N  — точки пе­ре­се­че­ния плос­ко­сти α с бо­ко­вы­ми рёбрами SC и SD со­от­вет­ствен­но. Из­вест­но, что

а)  До­ка­жи­те, что точки M и N делят ребра SC и SD в от­но­ше­нии 1 : 3, счи­тая от вер­ши­ны S.

б)  Най­ди­те ко­си­нус угла между плос­ко­стью ос­но­ва­ния ABCD и плос­ко­стью α.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство

15 де­каб­ря 2026 года пла­ни­ру­ет­ся взять кре­дит раз­ме­ром A мил­ли­о­нов руб­лей на срок 48 ме­ся­цев. Усло­вия воз­вра­та кре­ди­та та­ко­вы:

—  1 числа каж­до­го ме­ся­ца сумма долга воз­рас­та­ет на 1% по срав­не­нию с кон­цом преды­ду­ще­го ме­ся­ца;

—  с 2-⁠го по 14-⁠е число каж­до­го ме­ся­ца не­об­хо­ди­мо вы­пла­тить одним пла­те­жом часть долга;

—  15-⁠го числа каж­до­го ме­ся­ца долг дол­жен быть на одну и ту же ве­ли­чи­ну мень­ше долга на 15-⁠е число преды­ду­ще­го ме­ся­ца;

—  к 15 де­каб­ря 2030 года долг дол­жен быть пол­но­стью по­га­шен.

Чему равно A, если общая сумма пла­те­жей в 2030 году со­ста­вит 6390 тысяч руб­лей?

В тре­уголь­ни­ке ABC про­ве­де­ны вы­со­та AH и ме­ди­а­на AM, угол ACB равен 30°. Точка H лежит на от­рез­ке BM. В тре­уголь­ни­ке ACM про­ве­де­на вы­со­та MQ. Пря­мые MQ и AH пе­ре­се­ка­ют­ся в точке F. Из­вест­но, что AM  — бис­сек­три­са угла HAC.

а)  До­ка­жи­те, что тре­уголь­ник ABC пря­мо­уголь­ный.

б)  Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка CFM, если AB  =  10.

Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра a, при каж­дом из ко­то­рых урав­не­ние

имеет ровно два раз­лич­ных корня.

На доске на­пи­са­но 10 на­ту­раль­ных чисел, среди ко­то­рых нет оди­на­ко­вых. Ока­за­лось, что сред­нее ариф­ме­ти­че­ское любых че­ты­рех или семи чисел из за­пи­сан­ных яв­ля­ет­ся целым чис­лом.

а)  Могут ли среди за­пи­сан­ных на доске чисел од­но­вре­мен­но быть числа 567 и 1414?

б)  Может ли одно из за­пи­сан­ных на доске чисел быть квад­ра­том дру­го­го, если среди за­пи­сан­ных на доске чисел есть число 567?

в)  Из­вест­но, что среди за­пи­сан­ных на доске чисел есть число n и его квад­рат n². Най­ди­те наи­мень­шее воз­мож­ное зна­че­ние n.