На продолжении стороны AC за вершину A треугольника ABC отложен отрезок AD, равный стороне AB. Прямая, проходящая через точку A параллельно BD, пересекает сторону BC в точке M.
а) Докажите, что AM — биссектриса угла BAC.
б) Найдите площадь трапеции AMBD, если площадь треугольника ABC равна 144 и известно отношение AC : AB = 3 : 1.
а) По условию, прямые BD и AM параллельны, тогда углы ABD и BAM равны как накрест лежащие углы. Треугольник BAD — равнобедренный, поэтому углы ABD и ADB равны. Углы ADB и CAM равны как соответственные углы при пересечении параллельных прямых секущей. Тогда углы BAM и CAM также равны, что и требовалось доказать.
б) По условию, AC : AB = 3 : 1, тогда AC : AD = 3 : 1 и AC : DC = 3 : 4. Следовательно, треугольники AMC и DBC подобны с коэффициентом подобия 
Тогда 
По свойству биссектрисы, 
тогда
Найдём искомую площадь:
Ответ: б) 84.