Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
На сторонах острого угла с вершиной О взяты точки А и В. На луче ОВ взята точка M на расстоянии 3OA от прямой OA, а на луче OA — точка N на расстоянии 3OB от прямой ОВ. Радиус окружности, описанной около треугольника AOB, равен 3.
а) Докажите, что треугольник АОВ подобен треугольнику MON.
б) Найдите длину отрезка MN.
Решение.
Спрятать критерии
а) Введем обозначения, как показано на рисунке. Пусть OA = a и OB = b, тогда
и 
Заметим, что
Следовательно, треугольники AOB и MON подобны, что и требовалось доказать.
б) По теореме синусов 
или 
Значит,
откуда
Ответ: б) 18.
Методы геометрии: Теорема синусов
Классификатор планиметрии: Окружность, описанная вокруг треугольника, Подобие