а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Най­ди­те все корни урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

В пра­виль­ной че­ты­рех­уголь­ной пи­ра­ми­де SABCD с вер­ши­ной S точки M и N се­ре­ди­ны ребер SC и AD со­от­вет­ствен­но. Плос­кость α про­хо­дит через пря­мую ВM па­рал­лель­но SN.

а)  До­ка­жи­те, что плос­кость α делит ребро CD в от­но­ше­нии 1 : 2.

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние от пря­мой SN до плос­ко­сти α, если сто­ро­на ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды равна 6, а бо­ко­вое ребро равно 12.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство:

Пен­си­он­ный фонд вла­де­ет цен­ны­ми бу­ма­га­ми, ко­то­рые стоят t² тыс. руб­лей в конце года t  (t  =  1; 2; ...). В конце лю­бо­го года пен­си­он­ный фонд может про­дать цен­ные бу­ма­ги и по­ло­жить день­ги на счёт в банке, при этом в конце каж­до­го сле­ду­ю­ще­го года сумма на счёте будет уве­ли­чи­вать­ся на 25%. В конце ка­ко­го года пен­си­он­но­му фонду сле­ду­ет про­дать цен­ные бу­ма­ги, чтобы в конце два­дца­то­го года сумма на его счёте была наи­боль­шей?

В ост­ро­уголь­ном тре­уголь­ни­ке ABC угол A равен 60°. Точка D  — точка пе­ре­се­че­ния бис­сек­трис, точка Н  — точка пе­ре­се­че­ния высот.

а)  До­ка­жи­те, что точки B, C, H и D лежат на одной окруж­но­сти.

б)  Най­ди­те угол ABC, если

Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра a, при каж­дом из ко­то­рых урав­не­ние

имеет ровно два раз­лич­ных корня, боль­ших чем 3.

Трое дру­зей Саша, Петя и Паша иг­ра­ли в шах­ма­ты.

а)  Могло ли быть, что по ито­гам тур­ни­ра каж­дый из них сыг­рал по 15 пар­тий?

б)  Могли ли ко­ли­че­ства пар­тий, сыг­ран­ные иг­ро­ка­ми, об­ра­зо­вы­вать гео­мет­ри­че­скую про­грес­сию?

в)  В тур­ни­ре было сыг­ра­но 23 пар­тии. Могли ли ко­ли­че­ства пар­тий, сыг­ран­ных иг­ро­ка­ми, об­ра­зо­вы­вать ариф­ме­ти­че­скую про­грес­сию?

г)  Ко­ли­че­ство пар­тий, сыг­ран­ных Сашей, Петей и Пашей, в ука­зан­ном по­ряд­ке об­ра­зу­ет ариф­ме­ти­че­скую про­грес­сию. Всего в тур­ни­ре сыг­ра­но 30 пар­тий. Сколь­ко пар­тий Саша сыг­рал с Пашей?