Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 17 № 681262
i

Дан па­рал­ле­ло­грамм ABCD c ост­рым углом DAB. В нем опу­ще­ны вы­со­ты BP и BQ на сто­ро­ны AD и CD со­от­вет­ствен­но. На сто­ро­не AD от­ме­че­на точка M так, что AM  =  BP. Из­вест­но, что AB  =  BQ.

а)  До­ка­жи­те, что BM  =  PQ.

б)  Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка APQ, если AM  =  BP  =  12, AB  =  BQ  =  15.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  Пусть угол ABP равен α. Тогда \angle BAP = \angle BCQ = 90 гра­ду­сов минус альфа . Зна­чит, угол CBQ равен α и угол PBQ равен  90 гра­ду­сов минус альфа . Тре­уголь­ни­ки ABM и BQP равны по двум сто­ро­нам и углу между ними, по­это­му от­ре­зок BM равен от­рез­ку PQ.

б)  Про­ве­дем пря­мую QH па­рал­лель­но пря­мой DP. Тре­уголь­ник ABP равен тре­уголь­ни­ку BQH по ги­по­те­ну­зе и остро­му углу. По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра по­лу­чим:

AP = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: AB в квад­ра­те минус BP в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 15 в квад­ра­те минус 12 в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та = 9.

От­ре­зок BH равен от­рез­ку AP, по­это­му HP = BP минус BH = 3. Вы­со­та тре­уголь­ни­ка APQ, про­ве­ден­ная из вер­ши­ны Q, равна от­рез­ку HP. Таким об­ра­зом, пло­щадь тре­уголь­ни­ка APQ равна

S_APQ = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на AP умно­жить на HP = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на 9 умно­жить на 3 = дробь: чис­ли­тель: 27, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби .

Ответ: б)  дробь: чис­ли­тель: 27, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби .

 

При­ве­дем дру­гое ре­ше­ние пунк­та б) Алек­сандра Тур­ба­но­ва (Ли­пецк).

В тре­уголь­ни­ке ABP тан­генс альфа = дробь: чис­ли­тель: BP, зна­ме­на­тель: AB конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 15, зна­ме­на­тель: 12 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби , от­ку­да

ко­си­нус альфа = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 1 плюс тан­генс в квад­ра­те альфа конец дроби конец ар­гу­мен­та = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 1 плюс дробь: чис­ли­тель: 16, зна­ме­на­тель: 9 конец дроби конец дроби конец ар­гу­мен­та = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: дробь: чис­ли­тель: 9, зна­ме­на­тель: 25 конец дроби конец ар­гу­мен­та = дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби ,

от­ку­да

синус альфа = дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби ,

синус \angle QAD = синус левая круг­лая скоб­ка альфа минус 45 гра­ду­сов пра­вая круг­лая скоб­ка = синус альфа ко­си­нус 45 гра­ду­сов минус синус 45 гра­ду­сов ко­си­нус альфа = дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби умно­жить на дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 10 конец дроби .

Далее, AP = AB ко­си­нус альфа = 9, PM = 12 минус 9 = 3. В рав­но­бед­рен­ном пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке ABQ на­хо­дим: AQ = 15 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та .

Най­дем ис­ко­мую пло­щадь:

S_APQ = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на AP умно­жить на AQ умно­жить на синус \angle QAP = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на 9 умно­жить на 15 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та умно­жить на дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 10 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 270, зна­ме­на­тель: 20 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 27, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а), и обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б)3
По­лу­чен обос­но­ван­ный ответ в пунк­те б)

ИЛИ

име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а), и при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б) по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки

2
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а),

ИЛИ

при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б) по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки,

ИЛИ

обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б) с ис­поль­зо­ва­ни­ем утвер­жде­ния пунк­та а), при этом пункт а) не вы­пол­нен

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, при­ведённых выше0
Мак­си­маль­ный балл3

Аналоги к заданию № 681262: 681313 685388 Все

Источник: За­да­ния 17 ЕГЭ–2025
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Видеокурс · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2026