а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Най­ди­те все корни урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие про­ме­жут­ку

Точка F  — се­ре­ди­на бо­ко­во­го ребра SA пра­виль­ной че­ты­рех­уголь­ной пи­ра­ми­ды SABCD, точка М лежит на сто­ро­не ос­но­ва­ния AB. Плос­кость β про­хо­дит через точки F и М па­рал­лель­но бо­ко­во­му ребру SC.

а)  Плос­кость β пе­ре­се­ка­ет ребро SD в точке К. До­ка­жи­те, что

б)  Пусть Най­ди­те от­но­ше­ние объ­е­мов мно­го­гран­ни­ков, на ко­то­рые плос­кость β раз­би­ва­ет пи­ра­ми­ду.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство:

У ин­ве­сто­ра есть 50 мил­ли­о­нов руб­лей. Часть денег он пла­ни­ру­ет вло­жить в про­ект. Если он вло­жит в про­ект   млн руб., то по за­вер­ше­нии про­ек­та он по­лу­чит x млн руб. Нев­ло­жен­ные в про­ект день­ги ин­ве­стор пла­ни­ру­ет раз­ме­стить на бан­ков­ском счете. По за­вер­ше­нии про­ек­та ин­ве­стор по­лу­чит из банка сумму, уве­ли­чен­ную на 20%.

Ин­ве­стор со­би­ра­ет­ся рас­пре­де­лить день­ги так, чтобы общая сумма по­лу­чен­ных им денег от вло­же­ния в про­ект и раз­ме­ще­ния в банке ока­за­лась наи­боль­шей. При­быль от про­ек­та  — это раз­ность между по­лу­чен­ной от про­ек­та и вло­жен­ной в про­ект сум­ма­ми денег. Най­ди­те, сколь­ко про­цен­тов со­ста­вит при­быль от про­ек­та от вло­жен­ной в него суммы денег.

В ост­ро­уголь­ном тре­уголь­ни­ке ABC на вы­со­те AD взята точка M, а на вы­со­те BP точка N так, что углы BMC и ANC  — пря­мые. Из­вест­но, что и

а)  До­ка­жи­те, что

б)  Най­ди­те длину бис­сек­три­сы CL тре­уголь­ни­ка MCN.

Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра a, при каж­дом из ко­то­рых урав­не­ние:

имеет един­ствен­ное ре­ше­ние.

На доске на­пи­са­но N раз­лич­ных на­ту­раль­ных чисел, каж­дое из ко­то­рых не пре­вос­хо­дит 33. Для каж­дых двух на­пи­сан­ных чисел a и b таких, что ни одно из на­пи­сан­ных чисел не де­лит­ся на и ни одно из на­пи­сан­ных чисел не яв­ля­ет­ся де­ли­те­лем числа

а)  Могли ли на доске быть на­пи­са­ны числа 11, 12, 13?

б)  Среди на­пи­сан­ных на доске чисел есть число 15. Может ли N быть рав­ным 18?

в)  Най­ди­те наи­боль­шее зна­че­ние N.