Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 17 № 658810
i

На бо­ко­вых сто­ро­нах AB и BC рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка ABC со сто­ро­на­ми AB = BC =8 и AC = 6 от­ме­че­ны точки E и D со­от­вет­ствен­но так, что AE = 2, CD = 1. От­рез­ки AD и CE пе­ре­се­ка­ют­ся в точке O.

а)  До­ка­жи­те, что от­но­ше­ние пло­ща­дей тре­уголь­ни­ков AOE и COD равно 14 : 3.

б)  Най­ди­те пло­щадь че­ты­рех­уголь­ни­ка BDOE.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  За­пи­шем тео­ре­му Ме­не­лая для тре­уголь­ни­ка ADB и се­ку­щей ED:

дробь: чис­ли­тель: AO, зна­ме­на­тель: OD конец дроби умно­жить на дробь: чис­ли­тель: DC, зна­ме­на­тель: CB конец дроби умно­жить на дробь: чис­ли­тель: BE, зна­ме­на­тель: EA конец дроби = 1,

от­ку­да дробь: чис­ли­тель: AO, зна­ме­на­тель: OD конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 8, зна­ме­на­тель: 1 конец дроби умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 6 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 8, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби . За­пи­шем тео­ре­му Ме­не­лая для тре­уголь­ни­ка CBE и се­ку­щей DO:

дробь: чис­ли­тель: EO, зна­ме­на­тель: OC конец дроби умно­жить на дробь: чис­ли­тель: CD, зна­ме­на­тель: DB конец дроби умно­жить на дробь: чис­ли­тель: BA, зна­ме­на­тель: AE конец дроби = 1,

от­ку­да дробь: чис­ли­тель: EO, зна­ме­на­тель: OC конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 8 конец дроби умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 7, зна­ме­на­тель: 1 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 7, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби . Таким об­ра­зом, от­но­ше­ние пло­ща­дей тре­уголь­ни­ков AOE и COD равно

дробь: чис­ли­тель: S_AOE, зна­ме­на­тель: S_COD конец дроби = дробь: чис­ли­тель: дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на OE умно­жить на OA умно­жить на синус \angle AOE, зна­ме­на­тель: дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби CO умно­жить на OD умно­жить на синус \angle COD конец дроби = дробь: чис­ли­тель: EO, зна­ме­на­тель: OC конец дроби умно­жить на дробь: чис­ли­тель: AO, зна­ме­на­тель: OD конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 7, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 8, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 14, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби .

б)  На­хо­дим пло­щадь тре­уголь­ни­ка ABC:

S_ABC = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: дробь: чис­ли­тель: 8 плюс 8 плюс 6, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 8 плюс 8 минус 6, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 8 плюс 6 минус 8, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 8 плюс 6 минус 8, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби конец ар­гу­мен­та = 3 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 55 конец ар­гу­мен­та .

На­хо­дим пло­щадь тре­уголь­ни­ка CEB:

S_CEB = дробь: чис­ли­тель: EB, зна­ме­на­тель: AB конец дроби умно­жить на S_ABC = дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби умно­жить на 3 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 55 конец ар­гу­мен­та = дробь: чис­ли­тель: 9, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 55 конец ар­гу­мен­та .

На­хо­дим пло­щадь тре­уголь­ни­ка COD:

S_COD = дробь: чис­ли­тель: CO, зна­ме­на­тель: CE конец дроби умно­жить на дробь: чис­ли­тель: CD, зна­ме­на­тель: CB конец дроби умно­жить на S_CEB = дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: 11 конец дроби умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 8 конец дроби умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 9, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 55 конец ар­гу­мен­та = дробь: чис­ли­тель: 9 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 55 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 88 конец дроби .

На­хо­дим пло­щадь тре­уголь­ни­ка BDOE:

S_BDOE = S_CEB минус S_COD = дробь: чис­ли­тель: 9 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 55 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 88 конец дроби умно­жить на левая круг­лая скоб­ка 22 минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: 189 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 55 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 88 конец дроби .

Ответ: б) дробь: чис­ли­тель: 189 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 55 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 88 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а), и обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б)3
По­лу­чен обос­но­ван­ный ответ в пунк­те б)

ИЛИ

име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а), и при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б) по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки

2
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а),

ИЛИ

при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б) по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки,

ИЛИ

обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б) с ис­поль­зо­ва­ни­ем утвер­жде­ния пунк­та а), при этом пункт а) не вы­пол­нен

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, при­ведённых выше0
Мак­си­маль­ный балл3
Источник: А. Ларин. Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 464
Методы геометрии: Метод пло­ща­дей, Тео­ре­ма Ме­не­лая
Классификатор планиметрии: Тре­уголь­ни­ки
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Видеокурс · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025