Наи­боль­шее целое число, не пре­вос­хо­дя­щее число x, равно Най­ди­те все такие зна­че­ния x.

Каж­дое из чисел 2, 3, …, 7 умно­жа­ют на каж­дое из чисел 13, 14, …, 21 и перед каж­дым из по­лу­чен­ных про­из­ве­де­ний про­из­воль­ным об­ра­зом ста­вят знак плюс или минус, после чего все 54 по­лу­чен­ных ре­зуль­та­та скла­ды­ва­ют. Какую наи­мень­шую по мо­ду­лю и какую наи­боль­шую сумму можно по­лу­чить в итоге?

Най­ди­те все трой­ки на­ту­раль­ных чисел k, m и n, удо­вле­тво­ря­ю­щие урав­не­нию Как обыч­но,

Най­ди­те все пары на­ту­раль­ных чисел m и n, яв­ля­ю­щи­е­ся ре­ше­ни­я­ми урав­не­ния 2^m − 3ⁿ  =  1.

Най­ди­те все пары на­ту­раль­ных чисел m и n, яв­ля­ю­щи­е­ся ре­ше­ни­я­ми урав­не­ния 3ⁿ − 2^m  =  1.

Най­ди­те все пары целых чисел, удо­вле­тво­ря­ю­щие си­сте­ме не­ра­венств:

Най­ди­те все пары целых чисел, удо­вле­тво­ря­ю­щие си­сте­ме:

Мно­же­ство А со­сто­ит из на­ту­раль­ных чисел. Ко­ли­че­ство чисел в А боль­ше семи. Наи­мень­шее общее крат­ное всех чисел из А равно 210. Для любых двух чисел из А их наи­боль­ший общий де­ли­тель боль­ше еди­ни­цы. Про­из­ве­де­ние всех чисел из А де­лит­ся на 1920 и не яв­ля­ет­ся квад­ра­том ни­ка­ко­го це­ло­го числа. Найти числа, из ко­то­рых со­сто­ит А.

Ре­ши­те в на­ту­раль­ных чис­лах урав­не­ние

При­ме­ча­ние.

Для на­ту­раль­но­го n сим­во­лом обо­зна­ча­ет­ся про­из­ве­де­ние

Ре­ши­те в на­ту­раль­ных чис­лах урав­не­ние

При­ме­ча­ние.

Для на­ту­раль­но­го n сим­во­лом обо­зна­ча­ет­ся про­из­ве­де­ние

Вин­ти­ки можно раз­ло­жить в па­ке­ти­ки, а па­ке­ти­ки упа­ко­вать в ко­роб­ки, по 3 па­ке­ти­ка в одну ко­роб­ку. Можно эти же вин­ти­ки раз­ло­жить в па­ке­ти­ки так, что в каж­дом па­ке­ти­ке будет на 3 вин­ти­ка боль­ше, чем рань­ше, но тогда в каж­дой ко­роб­ке будет ле­жать по 2 па­ке­ти­ка, а ко­ро­бок по­тре­бу­ет­ся на 2 боль­ше. Какое наи­боль­шее число вин­ти­ков может быть при таких усло­ви­ях?

Ре­ши­те в на­ту­раль­ных чис­лах урав­не­ние n! + 5n + 13 = k², где n! = 1·2·...·n  — про­из­ве­де­ние всех на­ту­раль­ных чисел от 1 до n.

Ре­ши­те в на­ту­раль­ных чис­лах урав­не­ние где

Бес­ко­неч­ная де­ся­тич­ная дробь устро­е­на сле­ду­ю­щим об­ра­зом. Перед де­ся­тич­ной за­пя­той стоит нуль. После за­пя­той под­ряд вы­пи­са­ны члены воз­рас­та­ю­щей по­сле­до­ва­тель­но­сти на­ту­раль­ных чисел В ре­зуль­та­те по­лу­чи­лось ра­ци­о­наль­ное число, ко­то­рое вы­ра­жа­ет­ся не­со­кра­ти­мой дро­бью, зна­ме­на­тель ко­то­рой мень­ше Най­ди­те наи­мень­шее воз­мож­ное зна­че­ние

Бес­ко­неч­ная де­ся­тич­ная дробь устро­е­на сле­ду­ю­щим об­ра­зом. Перед де­ся­тич­ной за­пя­той стоит нуль. После за­пя­той под­ряд вы­пи­са­ны все целые не­от­ри­ца­тель­ные сте­пе­ни не­ко­то­ро­го од­но­знач­но­го на­ту­раль­но­го числа В ре­зуль­та­те по­лу­ча­ет­ся ра­ци­о­наль­ное число. Най­ди­те это число.

Най­ди­те все про­стые числа p, для каж­до­го из ко­то­рых су­ще­ству­ет такое целое число k, что число p яв­ля­ет­ся общим де­ли­те­лем чисел и

Най­ди­те все про­стые числа b, для каж­до­го из ко­то­рых су­ще­ству­ет такое целое число а, что дробь можно со­кра­тить на b.

Сумма двух на­ту­раль­ных чисел равна 43, а их наи­мень­шее общее крат­ное в 120 раз боль­ше их наи­боль­ше­го об­ще­го де­ли­те­ля. Най­ди­те эти числа.

Среди обык­но­вен­ных дро­бей с по­ло­жи­тель­ны­ми зна­ме­на­те­ля­ми, рас­по­ло­жен­ных между чис­ла­ми и най­ди­те такую, зна­ме­на­тель ко­то­рой ми­ни­ма­лен.

Най­ди­те все такие пары на­ту­раль­ных чисел a и b, что если к де­ся­тич­ной за­пи­си числа a при­пи­сать спра­ва де­ся­тич­ную за­пись числа b, то по­лу­чит­ся число, боль­шее про­из­ве­де­ния чисел a и b на

Най­дут­ся ли хотя бы три де­ся­ти­знач­ных числа, де­ля­щи­е­ся на 11, в за­пи­си каж­до­го из ко­то­рых ис­поль­зо­ва­ны все цифры от 0 до 9?

Про­из­ве­де­ние всех де­ли­те­лей на­ту­раль­но­го числа N окан­чи­ва­ет­ся на 399 нулей. На сколь­ко нулей может окан­чи­вать­ся число N?

Уче­ник дол­жен пе­ре­мно­жить два трех­знач­ных числа и раз­де­лить их про­из­ве­де­ние на пя­ти­знач­ное. Од­на­ко он не за­ме­тил знака умно­же­ния и при­нял два за­пи­сан­ных рядом трех­знач­ных числа за одно ше­сти­знач­ное. По­это­му по­лу­чен­ное част­ное (на­ту­раль­ное) ока­за­лось в 3 раза боль­ше ис­тин­но­го. Най­ди­те все три числа.

Най­ди­те не­со­кра­ти­мую дробь такую, что

Учи­тель в школе ста­вит от­мет­ки от 1 до 5. Сред­ний балл уче­ни­ка равен 4,625.

а)  Какое наи­мень­шее ко­ли­че­ство оце­нок может иметь уче­ник?

б)  Если у уче­ни­ка за­ме­нить оцен­ки 3, 3, 5, 5 на две четвёрки, то на сколь­ко мак­си­маль­но может уве­ли­чить­ся сред­ний балл?

По окруж­но­сти рас­став­ля­ют 48 не­ну­ле­вых целых чисел с общей сум­мой 20. При этом любые два сто­я­щих рядом числа долж­ны от­ли­чать­ся не более чем на 7 и среди любых четырёх под­ряд иду­щих чисел долж­но быть хотя бы одно по­ло­жи­тель­ное.

а)  Среди таких 48 чисел най­ди­те наи­боль­шее воз­мож­ное ко­ли­че­ство по­ло­жи­тель­ных.

б)  Среди таких 48 чисел най­ди­те наи­мень­шее воз­мож­ное ко­ли­че­ство по­ло­жи­тель­ных.

Ре­ши­те в целых чис­лах урав­не­ние

В ряду чисел 3 * 4 * 5 * 6 * 12 * 13 * 14 * 15 на месте каж­дой звез­доч­ки по­ста­ви­ли знак сло­же­ния или вы­чи­та­ния (по сво­е­му усмот­ре­нию) и под­счи­та­ли ре­зуль­тат.

а)  Могло ли в ре­зуль­та­те вы­чис­ле­ния по­лу­чить­ся число 9?

б)  Какое наи­мень­шее на­ту­раль­ное число могло по­лу­чить­ся в ре­зуль­та­те вы­чис­ле­ния?

в)  В ряду чисел 3 * 4 * 5 * 6 * 12 * 13 * 14 * 15 на месте каж­дой звез­доч­ки по­ста­ви­ли знак умно­же­ния или де­ле­ния (по сво­е­му усмот­ре­нию) и под­счи­та­ли ре­зуль­тат. Какое наи­мень­шее на­ту­раль­ное число могло по­лу­чить­ся в ре­зуль­та­те вы­чис­ле­ния?

а)  Су­ще­ству­ет ли на­ту­раль­ное число n, де­ля­ще­е­ся на­це­ло на 12 и при этом име­ю­щее ровно 12 раз­лич­ных де­ли­те­лей (вклю­чая еди­ни­цу и само число n)?

б)  Най­ди­те все на­ту­раль­ные числа, де­ля­щи­е­ся на­це­ло на 14 и име­ю­щие ровно 14 раз­лич­ных на­ту­раль­ных де­ли­те­лей.

в)  Су­ще­ству­ет ли на­ту­раль­ное число, де­ля­ще­е­ся на­це­ло на 2014 и име­ю­щее ровно 2014 раз­лич­ных на­ту­раль­ных де­ли­те­лей?

Целые числа от 2 до 11 за­пи­са­ны в строч­ку в не­ко­то­ром по­ряд­ке. Все­гда ли можно вы­черк­нуть не­сколь­ко чисел так, чтобы оста­лось:

а)  три числа в по­ряд­ке воз­рас­та­ния или в по­ряд­ке убы­ва­ния?

б)  пять чисел в по­ряд­ке воз­рас­та­ния или в по­ряд­ке убы­ва­ния?

в)  че­ты­ре числа в по­ряд­ке воз­рас­та­ния или в по­ряд­ке убы­ва­ния?

а)  Можно ли в вы­ра­же­нии вме­сто всех зна­ков * так рас­ста­вить знаки «+» и «−», чтобы мо­дуль этого вы­ра­же­ния стал мень­ше

б)  Можно ли в вы­ра­же­нии вме­сто всех зна­ков * так рас­ста­вить знаки «+» и «−», чтобы мо­дуль этого вы­ра­же­ния стал мень­ше

в)  Какое наи­мень­шее зна­че­ние может при­ни­мать вы­ра­же­ние если раз­ны­ми спо­со­ба­ми за­ме­нять каж­дый из зна­ков * за­ме­нять зна­ка­ми «+» и «−»?

При изу­че­нии темы «Сред­нее ариф­ме­ти­че­ское» в клас­се из 34 уча­щих­ся раз­да­ли синие и крас­ные кар­точ­ки, при этом каж­дый из уче­ни­ков по­лу­чил хотя бы одну кар­точ­ку, но не более одной каж­до­го цвета. На каж­дой кар­точ­ке на­пи­са­но одно целое число от 0 до 20 (на раз­лич­ных кар­точ­ках могут быть за­пи­са­ны оди­на­ко­вые числа). Сред­нее ариф­ме­ти­че­ское по всем роз­дан­ным кар­точ­кам ока­за­лось рав­ным 15 по каж­до­му цвету в от­дель­но­сти. Затем каж­дый уче­ник на­звал наи­боль­шее из чисел на своих кар­точ­ках (если ему до­ста­лась одна кар­точ­ка, то он на­звал число, на­пи­сан­ное на этой кар­точ­ке). Сред­нее ариф­ме­ти­че­ское всех на­зван­ных чисел ока­за­лось равно S.

а)  При­ве­ди­те при­мер, когда

б)  Могло ли S быть рав­ным 9?

в)  Най­ди­те наи­мень­шее зна­че­ние S, если по две кар­точ­ки по­лу­чи­ли 17 уче­ни­ков.

Из 26 по­сле­до­ва­тель­ных не­чет­ных чисел 1, 3, 5, ... , 51 вы­бра­ли 11 раз­лич­ных чисел, ко­то­рые за­пи­са­ли в по­ряд­ке воз­рас­та­ния. Пусть А  — ше­стое по ве­ли­чи­не среди этих чисел, а В  — сред­нее ариф­ме­ти­че­ское вы­бран­ных один­на­дца­ти чисел.

а)  Может ли В − А рав­нять­ся

б)  Может ли В − А рав­нять­ся

в)  Най­ди­те наи­боль­шее воз­мож­ное зна­че­ние В − А.

Уча­щи­е­ся 11 клас­сов сда­ва­ли тесты по раз­лич­ным пред­ме­там. Каж­дый тест оце­ни­ва­ет­ся от 0 до 100 бал­лов. После по­лу­че­ния ре­зуль­та­тов пя­те­ро дру­зей ре­ши­ли срав­нить по­лу­чен­ные баллы. Каж­дый сда­вал рус­ский язык и про­филь­ную ма­те­ма­ти­ку, чет­ве­ро сда­ва­ли фи­зи­ку, трое сда­ва­ли ин­фор­ма­ти­ку, двое сда­ва­ли об­ще­ст­во­зна­ние. Общая сумма бал­лов по фи­зи­ке не боль­ше 300, а по ин­фор­ма­ти­ке  — не мень­ше 220. Сумма бал­лов по об­ще­ст­во­зна­нию ока­за­лась равна сумме двух луч­ших ре­зуль­та­тов по фи­зи­ке и ин­фор­ма­ти­ке.

а)  Мог ли один из дру­зей не сдать хотя бы один эк­за­мен?

б)   Могли ли двое не сдать какой‐то эк­за­мен, если два участ­ни­ка на­пи­са­ли об­ще­ст­во­зна­ние на 78 и 87 бал­лов?

в)   Какое наи­боль­шее ко­ли­че­ство участ­ни­ков могли не сдать хотя бы один эк­за­мен, если луч­шая ра­бо­та по фи­зи­ке оце­не­на не более чем в 80 бал­лов, по ин­фор­ма­ти­ке  — не более 75 бал­лов, по об­ще­ст­во­зна­нию  — не менее 90 бал­лов?

Ука­за­ние. Тест счи­та­ет­ся не­сдан­ным, если за него по­лу­че­но 0 бал­лов.

а)  При­ве­ди­те при­мер та­ко­го на­ту­раль­но­го числа n, что числа и дают оди­на­ко­вый оста­ток при де­ле­нии на 100.

б)  Сколь­ко су­ще­ству­ет трёхзнач­ных чисел n с ука­зан­ным в пунк­те а свой­ством?

в)  Сколь­ко су­ще­ству­ет дву­знач­ных чисел m, для каж­до­го из ко­то­рых су­ще­ству­ет ровно 36 трёхзнач­ных чисел n, таких, что и дают оди­на­ко­вый оста­ток при де­ле­нии на 100.

Пусть S(n)  — сумма цифр на­ту­раль­но­го числа n.

а)  Су­ще­ству­ет ли такое дву­знач­ное число n, для ко­то­ро­го вы­пол­ня­ет­ся усло­вие

б)  Су­ще­ству­ет ли такое дву­знач­ное число n, все цифры ко­то­ро­го четны, для ко­то­ро­го вы­пол­ня­ет­ся усло­вие

в)  Най­ди­те ко­ли­че­ство трех­знач­ных чисел n, все цифры ко­то­рых не­чет­ны, для ко­то­рых вы­пол­ня­ет­ся усло­вие

На доске на­пи­са­ны числа 3 и 5. За один ход раз­ре­ше­но за­ме­нить на­пи­сан­ную на доске пару чисел a и b парой и (на­при­мер, из пары чисел 3 и 5 за один ход можно по­лу­чить либо числа 5 и 9, либо числа 9 и 9).

а)  Может ли по­лу­чить­ся так, что после не­сколь­ких ходов на доске будут на­пи­са­ны числа 73 и 75?

б)  Может ли по­лу­чить­ся так, что после не­сколь­ких ходов одно из на­пи­сан­ных на доске чисел будет равно 35?

в)  После 2017 ходов на доске по­лу­чи­ли пару чисел, не рав­ных друг другу. Какое наи­мень­шее зна­че­ние может иметь раз­ность между боль­шим и мень­шим из этих чисел?

Дано на­ту­раль­ное че­ты­рех­знач­ное число n, в за­пи­си ко­то­ро­го нет нулей. Для этого числа со­ста­вим дробь f(n), в чис­ли­те­ле ко­то­рой само число n, а в зна­ме­на­те­ле  — про­из­ве­де­ние всех цифр числа n.

а)  При­ве­ди­те при­мер та­ко­го числа n, для ко­то­ро­го

б)  Су­ще­ству­ет ли такое n, что

в)  Какое наи­мень­шее зна­че­ние может при­ни­мать дробь f(n), если она равна не­со­кра­ти­мой дроби со зна­ме­на­те­лем 160?

Име­ет­ся не­сколь­ко кам­ней, массы ко­то­рых  — раз­лич­ные на­ту­раль­ные числа.

а)  Можно ли раз­ло­жить 10 кам­ней с мас­са­ми 1, 2, 3, ..., 10 по шести куч­кам так, чтобы вес каж­дой кучки не пре­вос­хо­дил 10?

б)  Можно ли раз­ло­жить камни мас­са­ми 370, 372, 374, ..., 468 на семь кучек так, чтобы вес каж­дой кучки не пре­вос­хо­дил 3000?

в)  До­пол­ни­тель­но из­вест­но, что общая сумма масс кам­ней равна 4000, а масса каж­дой кучки, как и каж­до­го камня, не пре­вос­хо­дит 100. Какое ми­ни­маль­ное ко­ли­че­ство таких кучек при­дет­ся за­дей­ство­вать, чтобы га­ран­ти­ро­ван­но рас­пре­де­лить дан­ные камни?

На доске на­пи­са­но 100 раз­лич­ных на­ту­раль­ных чисел, сумма ко­то­рых равна 5130.

а)  Может ли ока­зать­ся, что на доске на­пи­са­но число 300?

б)  Может ли ока­зать­ся, что на доске нет числа 17?

в)  Какое наи­мень­шее ко­ли­че­ство чисел, крат­ных 17, может быть на доске?

Из­вест­но, что урав­не­ние x³ − 3x² + bx + 12  =  0 имеет три раз­лич­ных целых корня.

а)  Могут ли все корни этого урав­не­ния быть чет­ны­ми?

б)  Най­ди­те ко­ли­че­ство от­ри­ца­тель­ных кор­ней.

в)  Най­ди­те все воз­мож­ные зна­че­ния ко­эф­фи­ци­ен­та b.

На полке рас­став­лен 12‐том­ник Марка Твена. Можно ли тома рас­ста­вить так, чтобы:

а)  Сумма но­ме­ров любых двух под­ряд сто­я­щих томов де­ли­лось бы на 3?

б)  Сумма но­ме­ров любых трех под­ряд сто­я­щих томов де­ли­лось бы на 3?

в)  Сумма но­ме­ров любых че­ты­рех под­ряд сто­я­щих томов де­ли­лась бы на 3?

Сева каж­дый день за­пол­ня­ет таб­ли­цу 3 на 3 клет­ки чис­ла­ми 0, 2 или 4. При этом он рас­счи­ты­ва­ет день ото дня ре­шать все более и более ам­би­ци­оз­ные за­да­чи:

− Пн: до­бить­ся того, чтобы суммы чисел по стро­кам были раз­лич­ны;

− Вт: суммы чисел по стро­кам и хотя бы в одном из столб­цов были раз­лич­ны;

− Ср: суммы чисел по стро­кам и хотя бы в двух столб­цах были раз­лич­ны;

− Чт: суммы чисел по стро­кам и столб­цам были раз­лич­ны;

− Пт: суммы чисел по стро­кам, столб­цам и одной из глав­ных диа­го­на­лей были раз­лич­ны;

− Сб: суммы чисел по стро­кам, столб­цам и обеим глав­ным диа­го­на­лям были раз­лич­ны.

а)  Смо­жет ли Сева вы­пол­нить свой план на втор­ник, если хо­ро­шо по­ста­ра­ет­ся?

б)  Смо­жет ли Сева вы­пол­нить свой план на суб­бо­ту, если по­ста­ра­ет­ся пуще преж­не­го?

в)  В какие дни Сева точно не смо­жет вы­пол­нить свой план?

В 16‐бит­ном ре­ги­стре про­цес­со­ра 80286 каж­дый из 16 битов может при­ни­мать зна­че­ния 0 и 1. Таким об­ра­зом, число, за­пи­сан­ное в ре­гистр, пред­став­ля­ет собой по­сле­до­ва­тель­ность из 16 нулей и еди­ниц.

а)  Можно ли за­пи­сать в ре­гистр 30 раз­лич­ных чисел так, чтобы между лю­бы­ми двумя еди­ни­ца­ми в за­пи­си числа было не менее 7 нулей?

б)  Можно ли за­пи­сать 30 чисел с тем же усло­ви­ем, что и в пунк­те а), если 5 млад­ших битов ре­ги­стра (то есть по­след­них цифр в по­сле­до­ва­тель­но­сти) не­ис­прав­ны и все­гда равны нулю?

в)  Сколь­ко раз­лич­ных чисел с не менее чем 7 ну­ля­ми между лю­бы­ми двумя еди­ни­ца­ми можно за­пи­сать в 16‐бит­ный ре­гистр (со всеми 16 би­та­ми)?

Сева экс­пе­ри­мен­ти­ру­ет с таб­ли­цей 3 на 3 клет­ки. Его за­да­ча  — раз­ме­стить в ней мо­не­ты таким об­ра­зом, чтобы во всех стро­ках и столб­цах таб­ли­цы ко­ли­че­ство монет было раз­лич­ным. Не­ко­то­рые клет­ки могут остать­ся пу­сты­ми.

а)  Есть ли шанс у Севы рас­по­ло­жить в таб­ли­це 18 монет ука­зан­ным спо­со­бом?

б)  А 6 монет ука­зан­ным спо­со­бом?

в)  Какое наи­мень­шее ко­ли­че­ство монет по­тре­бу­ет­ся Севе для вы­пол­не­ния по­став­лен­ной за­да­чи?

В ма­га­зи­не про­да­ют­ся то­ва­ры, каж­дый из ко­то­рых стоит целое число руб­лей. Сред­няя цена то­ва­ров со­став­ля­ет 500 руб­лей. Од­на­ж­ды цены всех то­ва­ров умень­ши­ли на 10%, а потом округ­ли­ли до наи­боль­ше­го це­ло­го числа руб­лей, не пре­вос­хо­дя­ще­го умень­шен­ную цену.

а)  Могла ли после этого сред­няя цена то­ва­ра стать рав­ной 450 руб­лей?

б)  Могла ли после этого сред­няя цена то­ва­ра стать рав­ной 449,5 руб­лей?

в)  Из­вест­но, что сред­няя цена то­ва­ра стала рав­ной 449,1 руб­лей. После этого цены ещё раз умень­ши­ли на 10%, а потом округ­ли­ли до наи­боль­ше­го це­ло­го числа руб­лей, не пре­вос­хо­дя­ще­го умень­шен­ную цену, и сред­няя цена то­ва­ра стала рав­ной 403,29 руб­лей. Какое наи­мень­шее зна­че­ние могла при­ни­мать цена од­но­го то­ва­ра из­на­чаль­но?

а)  Су­ще­ству­ет ли пара на­ту­раль­ных чисел, наи­боль­ший общий де­ли­тель ко­то­рых равен 5, а наи­мень­шее общее крат­ное  — 123?

б)  Су­ще­ству­ет ли пара на­ту­раль­ных чисел, наи­боль­ший общий де­ли­тель ко­то­рых равен 7, а наи­мень­шее общее крат­ное  — 294?

в)  Най­ди­те все пары на­ту­раль­ных чисел, наи­боль­ший общий де­ли­тель ко­то­рых равен 13, а наи­мень­шее общее крат­ное  — 78.

Саша при­ду­ма­ла урав­не­ние n³ + 13n  =  k³ + 273.

а)  Может ли дан­ное урав­не­ние иметь на­ту­раль­ные ре­ше­ния при k  =  21?

б)  Может ли дан­ное урав­не­ние иметь на­ту­раль­ные ре­ше­ния при n ≥ 2020?

в)  Най­ди­те все пары (n; k) на­ту­раль­ных чисел, удо­вле­тво­ря­ю­щих урав­не­нию.

Мно­же­ство А со­сто­ит из на­ту­раль­ных чисел. Ко­ли­че­ство чисел в А боль­ше семи. Наи­мень­шее общее крат­ное всех чисел в А равно q и ни­ка­кие два числа в мно­же­стве А не яв­ля­ют­ся вза­им­но про­сты­ми. Най­ди­те все числа мно­же­ства А, если:

а)  q  =  210, про­из­ве­де­ние всех чисел из А де­лит­ся на 1920 и не яв­ля­ет­ся квад­ра­том ни­ка­ко­го це­ло­го числа.

б)  q  =  390, про­из­ве­де­ние всех чисел из А не де­лит­ся на 160 и не яв­ля­ет­ся чет­вер­той сте­пе­нью ни­ка­ко­го це­ло­го числа.

в)  q  =  330, про­из­ве­де­ние всех чисел из А не яв­ля­ет­ся чет­вер­той сте­пе­нью ни­ка­ко­го це­ло­го числа, а сумма всех чисел из А равна 755.

Из­вест­но, что n и m  — на­ту­раль­ные числа.

а)  Су­ще­ству­ет ли пара чисел n и m, для ко­то­рых вы­пол­ня­ет­ся ра­вен­ство ?

б)  Су­ще­ству­ет ли пара чисел n и m, для ко­то­рых вы­пол­ня­ет­ся ра­вен­ство ?

в)  Най­ди­те все пары чисел n и m, для ко­то­рых вы­пол­ня­ет­ся ра­вен­ство

а)  Най­ди­те наи­мень­шую дробь, при де­ле­нии ко­то­рой на каж­дую из дро­бей и по­лу­ча­ют­ся на­ту­раль­ные числа.

б)  Най­ди­те наи­мень­шую дробь, при де­ле­нии ко­то­рой на каж­дую из дро­бей и по­лу­ча­ют­ся на­ту­раль­ные числа.

в)  Най­ди­те наи­мень­шую дробь, при де­ле­нии ко­то­рой на каж­дую из дро­бей и по­лу­ча­ют­ся на­ту­раль­ные числа.

Про на­ту­раль­ное число n из­вест­но, что оно де­лит­ся на 17, а число, по­лу­чен­ное из n вы­чер­ки­ва­ни­ем по­след­ней цифры, де­лит­ся на 13.

а)  При­ве­ди­те при­мер та­ко­го n.

б)  Сколь­ко су­ще­ству­ет трех­знач­ных чисел n?

в)  Най­ди­те наи­боль­шее ше­сти­знач­ное число n.

На­пи­са­ны три раз­лич­ных на­ту­раль­ных числа. Затем на­пи­са­ны три раз­лич­ных по­пар­ных про­из­ве­де­ния этих чисел и про­из­ве­де­ние всех трех ис­ход­ных чисел. Сумма по­лу­чен­ных семи чисел ока­за­лась рав­ной 1514.

а)  Может ли хотя бы одно из ис­ход­ных чисел быть не­чет­ным?

б)  Может ли одно из ис­ход­ных чисел быть боль­ше чем число 200?

в)  Най­ди­те три ис­ход­ных числа.

Два на­ту­раль­ных числа a и b та­ко­вы, что если к де­ся­тич­ной за­пи­си числа при­пи­сать спра­ва де­ся­тич­ную за­пись числа b, то по­лу­чит­ся число, боль­шее про­из­ве­де­ния a и b на 32.

а)  При­ве­ди­те при­мер таких чисел a и b

б)  Может ли число b быть двух­знач­ным?

в)  Най­ди­те все числа a и b, удо­вле­тво­ря­ю­щие усло­вию за­да­чи.

На клет­ча­той бу­ма­ге на­ри­со­ван пря­мо­уголь­ник раз­ме­ра m × n кле­ток и про­ве­де­на его диа­го­наль. Все вер­ши­ны пря­мо­уголь­ни­ка лежат в узлах сетки и сто­ро­ны пря­мо­уголь­ни­ка не пе­ре­се­ка­ют клет­ки.

а)  Через сколь­ко узлов сетки прой­дет диа­го­наль, если

б)  На сколь­ко ча­стей эта диа­го­наль де­лит­ся ли­ни­ям сетки, если

в)  Най­ди­те m и n, если из­вест­но, что числа m и n вза­им­но про­стые, m < n и диа­го­наль этого пря­мо­уголь­ни­ка не пе­ре­се­ка­ет ровно 2020 кле­ток этого пря­мо­уголь­ни­ка.

В те­че­ние дня по­се­ти­те­ли при­хо­ди­ли к кас­си­ру, желая про­из­ве­сти раз­лич­ные пла­те­жи (сумма лю­бо­го пла­те­жа  — чет­ное число руб­лей). Каж­дый про­тя­ги­вал ку­пю­ру но­ми­на­лом 5000 руб­лей. Кас­сир вы­да­вал сдачу, имея толь­ко 300 монет по 10 руб­лей и 500 монет по 2 рубля. По ито­гам дня все мо­не­ты ока­за­лись по­тра­чен­ны­ми на сдачу.

а)  Могло ли за день быть 250 по­се­ти­те­лей, если они по­лу­чи­ли рав­ную сдачу?

б)  Каким могло быть наи­боль­шее число по­се­ти­те­лей, если каж­дый по­лу­чил оди­на­ко­вую сдачу?

в)  Для ка­ко­го наи­боль­ше­го ко­ли­че­ства по­се­ти­те­лей кас­сир мог вы­дать на сдачу мо­не­ты ука­зан­ным спо­со­бом при любом рас­пре­де­ле­нии сдач, не про­ти­во­ре­ча­щим усло­вию?

За круг­лым сто­лом си­де­ли 110 че­ло­век, а на столе ле­жа­ли аб­ри­ко­сы. Для каж­дой пары со­се­дей число съе­ден­ных ими аб­ри­ко­сов от­ли­ча­ет­ся на 3.

а)  Могли ли быть съе­де­ны все аб­ри­ко­сы, если из­на­чаль­но их было 1000?

б)  Какое наи­мень­шее число аб­ри­ко­сов могло остать­ся, если из­на­чаль­но их было 1000?

в)  Пусть один из при­сут­ству­ю­щих съел a аб­ри­ко­сов, а дру­гой b. Най­ди­те наи­боль­шее воз­мож­ное зна­че­ние a − b при усло­вии, что из­на­чаль­но было 10 000 аб­ри­ко­сов.

В ячей­ках таб­ли­цы 5 на 9 рас­став­ле­ны на­ту­раль­ные числа, среди ко­то­рых ровно 33 не­чет­ных. Алек­сандра рас­смат­ри­ва­ет пары со­сед­них ячеек, име­ю­щих общую сто­ро­ну. Если про­из­ве­де­ние чисел в паре четно, наша ге­ро­и­ня счи­та­ет такую пару за­чет­ной.

А)  Может ли в таб­ли­це быть ровно 22 за­чет­ные пары?

Б)  Может ли в таб­ли­це быть ровно 49 за­чет­ных пар?

В)  Какое наи­боль­шее число за­чет­ных пар может быть в таб­ли­це?

Име­ют­ся два мно­го­чле­на от це­ло­чис­лен­ной пе­ре­мен­ной x:

Рас­смот­рим функ­цию от це­ло­чис­лен­ной пе­ре­мен­ной x, опре­де­лен­ную для тех зна­че­ний x, для ко­то­рых

а)  Может ли функ­ция f(x) при­ни­мать не целые зна­че­ния при k  =  3?

б)  Может ли функ­ция f(x) при­ни­мать не целые зна­че­ния при k  =  2 ?

в)   При каких на­ту­раль­ных зна­че­ни­ях k функ­ция f(x) может при­ни­мать толь­ко целые зна­че­ния?

В рам­ках про­ек­та еже­год­ной ат­те­ста­ции учи­те­лей на­чаль­ных клас­сов, в ко­то­ром при­ня­ли уча­стие два го­ро­да А и В, 51 учи­тель на­пи­сал тест. Из­вест­но, что из каж­до­го го­ро­да тест на­пи­са­ли хотя бы два учи­те­ля, при­чем каж­дый на­брал целое по­ло­жи­тель­ное ко­ли­че­ство бал­лов, а после пред­ва­ри­тель­ных под­сче­тов сред­ний балл в каж­дом го­ро­де ока­зал­ся целым чис­лом. Затем один из учи­те­лей, пи­сав­ших тест, пе­ре­ехал из го­ро­да А в город В, и сред­ние баллы по го­ро­дам при­ш­лось пе­ре­счи­тать.

а)  Мог ли сред­ний балл в го­ро­де А после пе­ре­сче­та вы­рас­ти в два раза?

б)   Из­вест­но, что после пе­ре­сче­та сред­ние баллы в го­ро­дах вы­рос­ли на 10%. Мог ли пер­во­на­чаль­ный сред­ний балл в го­ро­де В рав­нять­ся 1?

в)   Най­ди­те наи­мень­шее зна­че­ние пер­во­на­чаль­но­го сред­не­го балла в го­ро­де В, если из­вест­но, что после пе­ре­сче­та сред­ние баллы в го­ро­дах вы­рос­ли на 10%.

На доске вы­пи­са­ны все на­ту­раль­ные числа от 1 до 2014 без про­пус­ков и по­вто­ре­ний: 1, 2, 3, …, 2013, 2014. С вы­пи­сан­ны­ми на доске чис­ла­ми про­де­лы­ва­ют сле­ду­ю­щие опе­ра­ции: вы­би­ра­ют какие‐либо два числа и за­пи­сы­ва­ют на доске мо­дуль их раз­но­сти, уве­ли­чен­ный на 1, а сами вы­бран­ные числа сти­ра­ют. Так про­дол­жа­ют до тех пор, пока на доске не оста­нет­ся толь­ко одно число.

а)  Какое наи­мень­шее число может остать­ся на доске?

б)  Какое наи­боль­шее число может остать­ся на доске?

Набор со­сто­ит из со­ро­ка пяти целых по­ло­жи­тель­ных чисел, среди ко­то­рых есть числа 6, 7, 8. Сред­нее ариф­ме­ти­че­ское любых трид­ца­ти пяти чисел этого на­бо­ра мень­ше 2.

а)  Может ли такой набор со­дер­жать ровно 26 еди­ниц?

б)  Может ли такой набор со­дер­жать менее 26 еди­ниц?

в)  До­ка­жи­те, что в любом таком на­бо­ре есть не­сколь­ко чисел, сумма ко­то­рых равна 50.

На­ту­раль­ное число, яв­ля­ю­ще­е­ся пол­ным квад­ра­том, об­ла­да­ет сле­ду­ю­щим свой­ством: если все его цифры умень­шить на одно и то же на­ту­раль­ное число, то по­лу­чит­ся число, также яв­ля­ю­ще­е­ся пол­ным квад­ра­том.

а)  При­ве­ди­те при­мер двух­знач­но­го числа, об­ла­да­ю­ще­го ука­зан­ным свой­ством.

б)  Най­ди­те все двух­знач­ные числа, об­ла­да­ю­щие ука­зан­ным свой­ством.

в)  Най­ди­те все че­ты­рех­знач­ные числа, об­ла­да­ю­щие ука­зан­ным свой­ством.

На­ту­раль­ное число А та­ко­во, что если его первую цифру пе­ре­ста­вить на по­след­нее место, по­лу­чит­ся число, в n > 1 раз мень­ше числа А.

а)  Су­ще­ству­ет ли двух­знач­ное число А, удо­вле­тво­ря­ю­щее ука­зан­ным усло­ви­ям?

б)  Най­ди­те наи­мень­шее число А, удо­вле­тво­ря­ю­щее ука­зан­ным усло­ви­ям, если n  =  5, а число А на­чи­на­ет­ся с цифры 7.

в)   При­ве­ди­те при­мер числа, ко­то­рое при пе­ре­ста­нов­ке его пер­вой цифры на по­след­нее место уве­ли­чи­ва­ет­ся в 3 раза.

Име­ет­ся пря­мо­уголь­ная таб­ли­ца раз­ме­ром M × N, за­пол­нен­ная чис­ла­ми 0 и 1, об­ла­да­ю­щая сле­ду­ю­щи­ми свой­ства­ми. Во‐пер­вых, в каж­дой стро­ке и в каж­дом столб­це есть хотя бы один эле­мент, рав­ный 1. Во‐вто­рых, нет ни одной пары оди­на­ко­вых строк, а также ни одной пары оди­на­ко­вых столб­цов. Таб­ли­цы, об­ла­да­ю­щие этими свой­ства­ми, на­зо­вем «хо­ро­ши­ми».

Две таб­ли­цы на­зо­вем эк­ви­ва­лент­ны­ми в том и толь­ко в том слу­чае, если из одной из них можно по­лу­чить дру­гую путем пе­ре­ста­нов­ки строк и/или столб­цов. При­ве­дем при­мер двух эк­ви­ва­лент­ных таб­лиц раз­ме­ром 3 × 3.

Вто­рая таб­ли­ца по­лу­ча­ет­ся из пер­вой сна­ча­ла пе­ре­ста­нов­кой в ней 1‐й и 3‐й строк, потом 2‐го и 3‐го столб­ца в по­лу­чен­ной таб­ли­це, а затем 1‐й и 2‐й стро­ки в по­след­ней по­лу­чен­ной таб­ли­це.

а)   Сколь­ко су­ще­ству­ет раз­лич­ных по­пар­но не­эк­ви­ва­лент­ных «хо­ро­ших» таб­лиц раз­ме­ром 2 × 3?

б)  Ука­жи­те ко­ли­че­ство всех таб­лиц, эк­ви­ва­лент­ных «хо­ро­шей» таб­ли­це

в)   Какое мак­си­маль­ное число столб­цов может быть в «хо­ро­шей» таб­ли­це, со­дер­жа­щей М строк?

Склад, име­ю­щий форму пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да АВСDA₁B₁C₁D₁ раз­ме­ром k × n × p ку­би­че­ских мет­ров плот­но за­став­лен ка­ни­стра­ми раз­ме­ром 1 × 1 × 1 м³. Пуля летит по пря­мой и по­вре­жда­ет ка­ни­стру толь­ко если де­ла­ет в ней две дырки. Воз­мож­но ли одним вы­стре­лом по­вре­дить более чем ка­нистр, если

а)  p  =  5, n  =  3, k  =  2 и вы­стрел про­из­ве­ден по диа­го­на­ли АС₁?

б)   p  =  26, n  =  13, k  =  5 и вы­стрел про­из­ве­ден по диа­го­на­ли АС₁?

в)  Сколь­ко ка­нистр по­вре­дит пуля, про­ле­та­ю­щая по диа­го­на­ли АС₁, если p  =  1812, n  =  1914, k  =  1941?

По кругу в не­ко­то­ром по­ряд­ке по од­но­му разу на­пи­са­ны числа от 9 до 18. Для каж­дой из де­ся­ти пар со­сед­них чисел нашли их наи­боль­ший общий де­ли­тель.

а)  Могло ли по­лу­чить­ся так, что все наи­боль­шие общие де­ли­те­ли равны 1?

б)  Могло ли по­лу­чить­ся так, что все наи­боль­шие общие де­ли­те­ли по­пар­но раз­лич­ны?

в)   Какое наи­боль­шее ко­ли­че­ство по­пар­но раз­лич­ных наи­боль­ших общих де­ли­те­лей могло при этом по­лу­чить­ся?

На доске на­пи­са­но не­сколь­ко раз­лич­ных на­ту­раль­ных чисел, в за­пи­си ко­то­рых могут быть толь­ко цифры 1 и 6.

а)  Может ли сумма этих чисел быть равна 173?

б)  Может ли сумма этих чисел быть равна 109?

в)  Какое наи­мень­шее ко­ли­че­ство чисел может быть на доске, если их сумма равна 1021?

Числа 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 16 про­из­воль­но делят на три груп­пы так, чтобы в каж­дой груп­пе было хотя бы одно число. Затем вы­чис­ля­ют зна­че­ние сред­не­го ариф­ме­ти­че­ско­го чисел в каж­дой из групп (для груп­пы из един­ствен­но­го числа сред­нее ариф­ме­ти­че­ское равно этому числу).

а)  Могут ли быть оди­на­ко­вы­ми два из этих трех зна­че­ний сред­них ариф­ме­ти­че­ских в груп­пах из раз­но­го ко­ли­че­ства чисел?

б)  Могут ли быть оди­на­ко­вы­ми все три зна­че­ния сред­них ариф­ме­ти­че­ских?

в)  Най­ди­те наи­мень­шее воз­мож­ное зна­че­ние наи­боль­ше­го из по­лу­ча­е­мых трех сред­них ариф­ме­ти­че­ских

Ко­неч­ная по­сле­до­ва­тель­ность a₁, a₂, ... a_n со­сто­ит из не обя­за­тель­но раз­лич­ных на­ту­раль­ных чисел, при­чем при всех на­ту­раль­ных вы­пол­не­но ра­вен­ство

a) При­ве­ди­те при­мер такой по­сле­до­ва­тель­но­сти при n  =  5, в ко­то­рой a₅  =  3.

б)  Может ли в такой по­сле­до­ва­тель­но­сти ока­зать­ся так, что a₃  =  a₁₁?

в)  При каком наи­боль­шем n такая по­сле­до­ва­тель­ность может со­сто­ять толь­ко из чисел, не пре­вос­хо­дя­щих 50?