Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д18 C7 № 537139

На клетчатой бумаге нарисован прямоугольник размера m × n клеток и проведена его диагональ. Все вершины прямоугольника лежат в узлах сетки и стороны прямоугольника не пересекают клетки.

а) Через сколько узлов сетки пройдет диагональ, если m=100, n=64.

б) На сколько частей эта диагональ делится линиям сетки, если m=195, n=221.

в) Найдите m и n, если известно, что числа m и n взаимно простые, m < n и диагональ этого прямоугольника не пересекает ровно 2020 клеток этого прямоугольника.

Спрятать решение

Решение.

Докажем сначала, что общее число клеток, через которые проходит диагональ, равно m плюс n минус \mboxНОД левая круглая скобка m,n правая круглая скобка . В самом деле, прямоугольник содержит m горизонтальных линий сетки и n вертикальных. Прямая пересекает их все и каждый отрезок между соседними линиями лежит в одной клетке. Осталось только узнать, сколько раз она пересекает сразу две линии, то есть проходит через узел решетки.

Пусть первый узел, через который она проходит, имеет координаты  левая круглая скобка x; y правая круглая скобка , тогда все остальные узлы имеют координаты вида  левая круглая скобка kx; ky правая круглая скобка (поскольку у прямой, проходящей через начало координат, отношение координат постоянно). Ясно, что x, y — взаимно простые числа, так как если она делятся на d, то точка  левая круглая скобка дробь: числитель: x, знаменатель: d конец дроби ; дробь: числитель: y, знаменатель: d конец дроби правая круглая скобка тоже лежит на диагонали. Тогда k обязано быть целым — иначе его знаменатель не сможет целиком сократиться и с x и с y и точка  левая круглая скобка kx; ky правая круглая скобка не будет целой. Итак, она проходит в точности через узлы вида  левая круглая скобка kx; ky правая круглая скобка . Значит, m=kx, n=ky, причем x, y — взаимно просты. Это и означает, что k=\mboxНОД левая круглая скобка m,n правая круглая скобка .

Итак, общее число пересечений с линиями составит m плюс n минус \mboxНОД левая круглая скобка m,n правая круглая скобка (мы вычитаем те, которые были посчитаны два раза и не учитываем начальную вершину прямоугольника, но учитываем конечную). Значит, именно столько клеток и пересекает наша прямая.

Перейдем теперь к задаче.

а) Число узлов равно 1 плюс \mboxНОД левая круглая скобка 64;100 правая круглая скобка =5.

б) Число частей совпадает с числом клеток, по которым проходит диагональ. Поэтому ответ 195 плюс 221 минус 13=403.

в) По условию mn минус левая круглая скобка m плюс n минус 1 правая круглая скобка =2020 равносильно mn минус m минус n плюс 1=2020 равносильно  левая круглая скобка m минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка =2020.

Число 2020 раскладывается на множители такими способами:

2020=1 умножить на 2020, то есть m = 2, n = 2021;

2020=2 умножить на 1010, то есть m = 3, n = 1011, не подходят, оба числа кратны 3;

2020=4 умножить на 505, то есть m = 5, n = 506;

2020=5 умножить на 404, то есть m = 6, n = 405, не подходят, оба числа кратны 3;

2020=10 умножить на 202, то есть m = 11, n = 203;

2020=20 умножить на 101, то есть m = 21, n = 102, не подходят, оба числа кратны 3.

 

Ответ: а) 5; б) 403; в) (2, 2021), (5, 506), (11, 203).

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов2
Верно получен один из следующий результатов:

— обоснованное решение пункта а;

— обоснованное решение пункта б;

— оценка в пункте в;

— пример в пункте в, обеспечивающий точность найденной оценки

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше0
Максимальный балл4
Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 307. (Часть C)